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2013年東北大学前期入試 理系数学 第4問

2013.05.29 12:18|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東北大前期入試の理系数学第4問です~



積分と極限の問題ですね~

e^(n・sinθ) というθの関数の定積分で a_n が与えられています。
この a_n に関して { log (n・a_n) }/n の極限を考える問題です~


そのまんま a_n の値を計算しようとしても
なかなかうまくいかない感じなので挟み撃ちの原理に頼る
という流れのパターンのやつです~yotuba13.gif

e^(n・sinθ) に cosθ をくっつけて
{e^(n・sinθ)}cosθ の積分を考えたものが b_n です。
b_n の方は比較的簡単に積分が計算できてしまいます。
このとき,(2)の問題文によれば 
b_n≦a_n≦(2/√3)b_n が成り立つらしいのですが
これをヒントにして挟み撃ちに持っていくって感じですねsosu.gif






まずは(1)です~
b_n を計算する問題です。
直ちに {e^(n・sinθ)}cosθ の不定積分を考えることができます~suika.gif
でもちょっと気付くのは慣れが要るかもしれないですねー
e^(n・sinθ) を微分したらどうなるかってトコに着目出来れば
問題なくいけるはずです~

m1_20130529111158.jpg



それに気付けなかったとしても,置換積分でもうまくいきます~syumai.gif
f(sinθ)cosθ 型の関数の積分は t=sinθ とおくと
上手くいくという教訓があります~


m2_20130529111158.jpg





(2)は評価式 b_n≦a_n≦(2/√3)b_n を求める問題ですね。
b_n≦a_n と a_n≦(2/√3)b_n に分けてそれぞれを確かめると良いと思います~

積分区間が -π/6≦θ≦π/6 なので,
この範囲で考えると √3/2≦cosθ≦1 です。
これに e^(n・sinθ) (>0) を各辺に掛けると
(√3/2)e^(n・sinθ)≦{e^(n・sinθ)}cosθ≦e^(n・sinθ)
を得ることが出来ますね。
これの積分を考えると b_n≦a_n を考えることができます~katudon.gif

一方で, √3/2≦cosθ≦1 の各辺を √3/2 で割ると
1≦(2/√3)cosθ≦2/√3 が得られるので,更に各辺に
e^(n・sinθ) を掛けると,
e^(n・sinθ)≦(2/√3){e^(n・sinθ)}cosθ≦(2/√3)e^(n・sinθ)
を得ることが出来ますね。
これの積分から a_n≦(2/√3)b_n が出てきます~

m3_20130529111159.jpg
m4_20130529111159.jpg



さて,あとは挟み撃ちの原理に持っていくのですが,
知りたいのは { log (n・a_n) }/n の極限だったので,
(2)の不等式をもうちょっと変形します~futaba03.gif


m5_20130529111200.jpg

式に挟み撃ちを使います~
なので,まずは { log (n・b_n) }/n の極限を計算してみましょう~nezumi02.gif


m6 1


同様に, { log ((√3/2)n・b_n) }/n の極限も計算出来ます~
あとは答を出すだけですねーtentou02.gif


m6 2








さて,今回の問題では b_n が既に与えられている誘導付きの問題です。
(1)が無かったとしたら(2)と同等の不等式まで到達するのは
やや難しくなりますね。
b_n の被積分関数として, cosθ をくっつけた
{e^(n・sinθ)}cosθ を選べばいいということに気付くのが難しいです

どちらかといえば以下のやり方のように分母に √(n^2-x^2)
が出てくる形に持っていくとその先の展開を見い出せやすい気がします。
分母の最小値,最大値に着目して評価したい気持ちに駆られます~kujira.gif


m7_20130529111216.jpg
m8_20130529111216.jpg

これで(2)と同じ不等式が得られたのであとは(3)と同様にやれば
答えが出てきますねーjyugon.gif











次回は第5問です~hamu03.gif




     
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