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2013年東北大学前期入試 理系数学 第5問 その1

2013.06.02 23:50|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大前期入試の理系数学第5問です~




1次変換の問題ですね~~
問題文で与えられた行列Aは原点を中心とする回転角3π/4の回転行列です~jitensya.gif
まずはそれに気付けるかどうかがポイントですね。
気付けなかったらもしかしたら計算で苦労することがあるかもしれません。

P_n の座標 (x_n,y_n) は, P_{n-1} を行列Aを作用させて回転させた後に
(1,0)を加えることで与えられています~
つまり,回転移動した後に平行移動が加わっているのですね。
このような変換は1次変換というよりかはアフィン変換と呼ばれるものですokojyo02.gif

各 n に対して線分 OP_n を考え,
最もその長さが大きくなるのは n がいくつのときですか~?
というのを求める問題ですよ~



(1)は A^4 を求める問題です。
さっさと済ませてしまいましょう~
Aは回転角3π/4の回転行列だったので,
その4乗は回転角が4倍になります~kujira.gif


n1_20130602220144.jpg


(2)は P_n の座標 (x_n,y_n) の一般項を求める問題です~
逆行列を含んだ若干分かりにくい表現がされていますね。

とりあえず試しに始めの何項かを求めてみると
傾向と対策が見えてくるかもしれないです~jyugon.gif


n2_20130602220144.jpg


ここまで来ると大体ピンとくるはずですねーkojika.gif

どうやら, P_n は (1,0) に A^n+A^(n-1)+A^(n-2)+…+A+E 
を作用させたものになっているようですよ?

もちろん現段階ではただの憶測に過ぎないので
帰納法でしっかり実証しておきましょう~s3_aut_momiji.gif


n3_20130602220145.jpg



ちなみに, A^0=E と定めておけば 
n≧0 において帰納法を展開することができますよ~

さて,1つの形として (x_n,y_n) の一般項が得られたわけですが
問題文で与えられているものとはまだ違っています。
…というわけで,

{E-A^(n+1)}(E-A)^(-1)=A^n+A^(n-1)+A^(n-2)+…+A+E

が成り立つことを確認すればよいわけです~

逆行列との積みたいのが含まれていて分かりづらいので
対策として両辺に右から E-A を掛けたもの

E-A^(n+1)={A^n+A^(n-1)+A^(n-2)+…+A+E}(E-A)

が成り立つことを確認すると良いでしょう~eto_hitsuji.gif
これなら右辺の展開式を計算すると左辺が出てきて終了~という
筋書きが立ちそうですよね

なお, E-A の逆行列 (E-A)^(-1) が存在することは
しっかり確かめておく必要がありますkaeru_yodare1.gif


n4_20130602220145.jpg
n5_20130602220146.jpg




もう1つ(2)の解き方を挙げておきましょう~
列ベクトルの漸化式を解くという方針で (x_n,y_n) を求めるものですkatorisenko02.gif


いつも解いているような数列の漸化式と同様の手法が使えることを
確認しておきましょう~


n6_20130602220146.jpg







さて,厄介そうなのは(3)ですね~
これは次回に回しましょう~curry01.gif






         
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