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2012年東北大入試(後期)理系数学第4問

2012.08.20 20:38|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大入試(後期)の理系数学第4問をやります~kirakira(1).gif

問題はこちら箱ドットおにおん2mini
m4

なんだか文章が長ったらしい確率の問題なんですが~yotuba08.gif
個人的な感覚からすると,全部で6つある大問の中で一番簡単なのがこの第4問である気がします~
(2)なんて,漸化式とか使って解くような面倒な問題なのかと思いきや,
後半の動き方が一意的に決まってしまっているので,何も怖いことがありませんbeen.gif

数学の問題を解くときに,実際に手を動かして実験してみる,ということが大事になることがしばしばあります。
この問題なんかもそうで,ちょっと確かめてみたらどんな計算をしなければならないかがすぐ分かります~


では(1)から見ていきましょう~boy08.gif


butterfly07.gif動点Qの移動の仕方を絞り込む解法

x=4,6が共に訪問点になるということは,
x=4が訪問点になる確率をまずは求めて,その後の移動分の確率を掛ければOKなわけです~buta(2).gif
動点Qは一度に+1+2の移動をするので,
4=1+1+1+11+1+22+2より
x=4が訪問点になるには, 「+1の移動4回」 「+1の移動2回,+2の移動1回」 「+2の移動2回
のいずれかの移動の仕方になることが必須ですaicon_bbs17.gif

特に「+1の移動2回,+2の移動1回」については,+2に移動が何回目にやってくるかで3通りあることに注意です~s2_sum_bbq.gif


h1.jpg

h2.jpg

x=4に到達した後にx=6に到達するためには,
4→5→6」 か 「4→6」 の2パターンのどちらかの移動の仕方をしなければなりませんrobo.gif 

h3.jpg



butterfly07.gifx=4の1つ前の訪問点で場合分けする解法

前半のx=4が訪問点になる確率ですが,今度はx=4の1つ前の訪問点がx=2かx=3かで場合分けしてみましょう~rabi_smile.gif

h4.jpg



butterfly07.gifx=6に到達する時刻で場合分けする解法

x=6に到達するのは最も早くてで2+2+2の移動をする時刻3,
最も遅くて1+1+1+1+1+1の移動をする時刻6で,どちらの場合もx=4も訪問点になっています

到達時刻3~6の場合についてそれぞれ確率を求めて足せば答えになりますねbody_stretch.gif

h5.jpg

h6.jpg

h7.jpg


最初に求めた答えの形とは違っていますが,これはこれでそれなりにキレイにまとまっているので
答えの形としてはアリなんじゃないかな?

ちなみに次のようにして因数分解した形にもっていくことが出来ますbakezouri.gif

h8.jpg



butterfly07.gif余事象の確率を計算する解法

x=4,6が共に訪問点である,の余事象はx=4,6のうち少なくとも一方は訪問点ではない
ですが,これはさらに次のように言い換えることが出来ます:
「x=6が訪問点ではない」 または 「x=4が訪問点ではないがx=6は訪問点である」

よって,「x=6が訪問点ではない」の確率と「x=4が訪問点ではないがx=6は訪問点である」の確率の和が
余事象の確率となります~poloneck.gif

ちなみに,一度に移動できる距離が+1か+2しか無いので,
x=kが訪問点でないとすれば,必ずx=k±1は訪問点になります~
つまり,k-1→k+1という移動の仕方以外が無いのです~clover.gif

h9.jpg

h10.jpg



次は(2)を考えてみましょう~dog_love.gif


butterfly07.gif動点Qの移動の仕方を絞り込む解法

x=3,6,9,…,3mが訪問点ではない確率ということで,何やら難しそうですね~
ところが,実は全然難しくないんです~s2_sum_sunflower.gif

上で述べたようにx=kが訪問点でないとすれば,必ずx=k±1は訪問点になるので,

x=3が訪問点でないからx=2,4は訪問点になり,
x=6が訪問点でないからx=5,7は訪問点になり,
x=9が訪問点でないからx=8,10は訪問点になり,

…ということを繰り返していくと,x=2から先の移動の仕方が

x=2→4→5→7→8→10→11→13→……→3m-2→3m-1→3m+1


と1通りに確定してしまうのであります!tanuki.gif

場合分けがいるのはx=2に到達するまでの部分ですが,
それも 「0→1→2」 か 「0→2」 の2パターンしかありませんzashiki.gif

h11.jpg


butterfly07.gif確率漸化式を用いる解法

確率漸化式を立てて解くのも簡単そうですね~kirin.gif

h12.jpg
h13.jpg






(1)の別解のように細かく分類したり余事象を考えたりとかすると,
結構な計算をさせられそうな予感がします。2項定理とか出てくるんじゃないだろうか~kinkan.gif
暇な人はやってみてください~kirakira.gif
今回の問題は一旦ここまでとします~



   
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東北大 入試 数学 受験 確率 反復試行 動点

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