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2013年東北大学前期入試 理系数学 第5問 その2

2013.06.03 00:00|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きをやりますよ~~




前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-109.html


1次変換の問題でした~
今回は(3)からですよ~

回転角3π/4の回転行列Aを使って定義された変換によって
P_n が与えられていたのでした。
P_n の座標 (x_n,y_n) の一般項は(2)で与えています。

線分 OP_n の最大値を与える n はいくつかを求めるのが(3)です~b_bouquet_20120809140128.gif


OP_n が最大になるときと (OP_n)^2 が最大になるときは同時なので
まずは (OP_n)^2 の最大値について考えてみたいと思います。

(OP_n)^2=(x_n)^2+(y_n)^2 ですので,
(2)の表示式で得られる一般項をぶち込んであげたら
具体的に (OP_n)^2 が計算出来ます~car2_tank.gif
ただし,やや計算が面倒です。
計算ミスが怖いですねぇーー


n7_20130602220244.jpg
n8_20130602220244.jpg
  n9_20130602220245.jpg
   n10_20130602220245.jpg

最終的には不定方程式 3n-8k=1 を解く話に帰着されてしまいましたねbuta.gif


途中の計算がやや面倒でしたが,
三角関数の合成を用いると少しだけ項の数は減らせます。
ただ,それでも結局やや面倒ですが~
試しにやってみます~


n11_20130602220246.jpg
n12_20130602220246.jpg


後半で再度合成を用いるときにθを上手く消去するというのが
なんともトリッキーですね。


ただ,もう少し計算量の少ない解法はないものか~body_walk.gif
とも思うわけです。
そこで少し模索してみましょう。


P_n は (1,0) に {E-A^(n+1)}(E-A)^(-1) を
作用させて得られるものでしたが,
先に (E-A)^(-1) だけ作用させてみたらどうでしょう。
(1/2,(√2-1)/2)に移ります。
この点を Q_0 とおきます。
これに E-A^(n+1) を作用させたものが P_n になりますねdog_shy.gif


n13_20130602220316.jpg


Q_0 に回転行列 A^n を作用させた点を Q_n とおきましょう。
すなわち Q_0 を原点を中心に角度 3nπ/4 だけ回転させた点が Q_n です

式から得られる情報は,
(→OP_n)=(→OQ_0)-(→OQ_{n+1})=(→Q_{n+1}Q_0)
であるということです~

よって,線分 OP_n の長さは線分 Q_{n+1}Q_0 の値に等しいです。
これの最大値を考えるといいのですねdolphin.gif


n15_20130602220317.jpg

△OQ_{n+1}Q_0 について,三角形の成立条件から
Q_{n+1}Q_0≦OQ_0+OQ_{n+1} が成り立ちます。
等号が成り立つのは三角形がちょうど潰れて,
(→OQ_0)=-(→OQ_{n+1}) となっているときです。

これが成り立つときに線分 Q_{n+1}Q_0 の長さは最大になります。
3(n+1)π/4=π+2kπ (kは整数)の時に確かにこれは実現しますhunayurei.gif


n16_20130602220317.jpg
n17_20130602220319.jpg


nに関する条件式は最初の解法と同じものが出てきたので
あとの部分は最初の解法と同様ですね~~insect_kabuto_m.gif










ところで,行列 A は A^8=E を満たしています。
このことから A^(n+8)=A^n が分かるので,
行列の列 {A^n} は8を周期に持っていることがわかりますkaeru_en2.gif

式から,点列 {P_n} も周期8の周期点列であることが分かると思います。
ということは, OP_n の値は OP_0,OP_1,OP_2,…,OP_7 の
8パターンしか出てこないですね。

この8個を全部求めて一番でっかいのが最大値だ
という発想で解くこともできると思います~




これと同等の発想を,ちょっとまた別の着眼点から捉えてみます。


さて,{E-A^(n+1)}(E-A)^(-1) は変形すると

{E-A^(n+1)}(E-A)^(-1)=E+A+A^2+…+A^n

になったことを思い出して下さい~
{E-A^(n+1)}(E-A)^(-1) ではなくて E+A+A^2+…+A^n に
着目して考えていったらどうなるかという解法パターンをちょっと試してみたいと思いますkuma_fly.gif




B_0(1,0) としましょう。この点を原点を中心に角度3nπ/4だけ
回転させた点を B_n とおきます。
つまり A^n を作用させた点ですねー。

下の図などを見れば分かると思いますが,打ち消し合いの結果, 
(→OB_0)+(→OB_1)+(→OB_2)+…+(→OB_7)=(→0)
が成り立ちます~korobo.gif

実は (→OP_n)=(→OB_0)+(→OB_1)+(→OB_2)+…+(→OB_n) なので,
今述べたことを根拠にして 点列 {P_n} の周期性をいうこともできます~


n18_20130602220319.jpg
n19_20130602220320.jpg
n20_20130602220337.jpg



それでは, OP_0,OP_1,…,OP_7 の中で最大になるものはどれか調べてみましょう~
対称性に着目すると少し効率よく計算ができることがポイントです~kitune.gif



n21_20130602220338.jpg
n22_20130602220339.jpg



多少効率は良くなったとしても,
いくつか計算をしなければいけないので面倒ですね。
ビジュアル化すれば計算量を減らすことができますよ~kame.gif


2つのベクトル(→a)と(→b)の和 (→a)+(→b) の視覚化といえば
(→a)と(→b)が張る平行四辺形の対角線で表示するやり方と
(→a)の終点と(→b)の始点を重ねて,(→a)の始点と(→b)の終点を結ぶ
やり方がありました。
ここでは後者の方を使ってみます

(→OP_n)=(→OB_0)+(→OB_1)+(→OB_2)+…+(→OB_n)
に従って, P_0,P_1,…,P_7 を配置してみましょう~

するとこの8点は下図のように,ちょうど正8角形の頂点に
なっていることが分かるはずです
このことは少し上にあった 式からも確認することが出来ます。
式はQ_0を回転移動させたものを基点を(→OQ_0)だけずらすという
ものですので,下の図と同じものを説明していることが読み取れるはずです。
Q_0 が正8角形の中心になるわけです。

このとき, OP_n の中で最大のになるのは正8角形の外接円の直径と等しくなる
OP_3であることが特に計算も要らずに分かってしまいます~m_0060.gif



n23_20130602220339.jpg










そんなわけで,今回はこの辺にして
次回は第6問をやっていきます~m_0203.gif








  
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