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2013年東北大学前期入試 理系数学 第6問

2013.06.09 21:53|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東北大前期入試の理系数学第6問を扱います~~




積分を使って立体の体積を求める問題です~~

円柱をある平面でスパっと切断して2つの立体に分けまして,
そのうちのちっちゃい方の立体の体積を求めるというものです。
断面積を計算してそれを積分して体積を出すという定番の流れですので,
方針に迷うことはないはずですsuika.gif


もし迷うとすれば,どの平面で切った断面積を考えるかということでしょうが,
その辺は問題文の方で指示してくれていますので,それに従えばいいですねーramen(1).gif




o1_20130609200453.jpg 
o3_20130609200454.jpg
o2_20130609200453.jpg
o4_20130609200454.jpg


考える立体は上図のようなやつですMushroom02.gif
底面は半円,上面も弓型の図形です。
直径ABに垂直な平面を正面とする方向から見ると台形,
直径CDに垂直な平面を正面とする方向から見ると等脚台形を
ちょっと膨らましたような形になっています。

o11_20130609200521.jpg



さて,問題の誘導に従うと,
直径ABに直交し,Oからの距離が t であるような平面(これを W(t) とおきます~)
で立体 V を切断した時の断面積を考えます。

この時の切断面は台形になるか三角形になるかのどちらかです。
W(t) が上面の弓型と交わるかどうかでこれが分かれますusagi(2).gif


交わるときは,下図のように切断面が台形です。

o5_20130609200454.jpg
o6_20130609200455.jpg
o7_20130609200519.jpg

真上から見たときの情報,側面側から見たときの情報を合わせて
切断面の台形の必要な辺の長さを求めることが出来ます。
これで断面積が計算できるようになりますよーaicon_bbs18.gif


o12_20130609200521.jpg
o13_20130609200548.jpg




一方,切断面が三角形になるのは W(t) が上面の弓型と交わらないときですaicon_bbs20.gif


o8_20130609200519.jpg
o9_20130609200520.jpg
o10_20130609200520.jpg

こちらも同じように断面積を計算していくことができます~aomushi02.gif


o14_20130609200549.jpg


あとは積分して体積を出すのみです~
対称性を利用して少し楽もしておきましょう~zashiki.gif



o15_20130609200549.jpg








さて,今回はこの立体Vを W(t) とは別の平面で切断したときの
断面積を積分して体積を求める検証をしてみます~xmas_tonakai.gif


今回の問題では座標は特に設定されていませんでしたが,
分かりやすい言い方をすれば,
いわゆるx軸方向に積分する,y軸方向に積分する,z軸方向に積分する,
の3パターンが分かりやすいアプローチの仕方だと思いますspaghetti.gif


上述の解法がx軸方向の積分だったとすると,y軸方向,z軸方向の積分で
体積計算してみるアイデアが残っていると思います。
この2つにトライしてみます。




まずはz軸方向の積分をやってみましょう~~
つまり底面や上面と平行な平面で V を切ったときの断面を考えます~star.gif



o16_20130609200550.jpg
o17_20130609200550.jpg

o18_20130609200551.jpg


この時の断面は,底面や上面と同様で常に弓型の図形です。
そこで上述のように ∠P'O''N=θ とおき,断面積をθの関数で
表してみたいと思いますs2_sum_sunflower.gif


ただし,積分はあくまで z に関して行うものであって,
断面積をθで積分するのではありません。
θの積分に直すには置換積分を考えなければいけません。
すなわち,dzを (dz/dθ)dθ に置き換えなければいけません~
これがよく見落とされがちなところだと思います。


o19_20130609200614.jpg
o20_20130609200615.jpg








残りはy軸方向の積分に相当するアプローチを試してみましょう~
直径ABに平行な弦GHを底面に引いて,
GHを含むような底面に垂直な平面で V を切るのですrisu.gif


切断面は長方形ですー。
ただし,Oからの距離が 1/√2 より大きくなると
長方形の高さは一定になりますrabi_smile.gif




Oからの距離が 1/√2 より小さいときは
下図のようになっています。

o21_20130609200615.jpg

o22_20130609200616.jpg
o23_20130609200616.jpg
o24_20130609200616.jpg


Oからの距離が 1/√2 より大きいときは
下図のようになっていますkawauso.gif


o25_20130609200633.jpg




断面の形が分かればあとは他のアプローチと同じように
断面積を求めて積分すれば答えが出せますねーinsect_kabuto_m.gif


o26_20130609200633.jpg
o27_20130609200634.jpg







3通りの仕方で答えを出してみましたが,
どのやり方でも計算が煩雑になるようなことはないようです。
難易度的にも大差は無さそうですねhamster_2.gif


誘導形式の設問であればそれに従えば問題ないですが,
誘導がない場合は,どの方向の積分で攻めるかを
自分で考えて選ぶ必要があります。

その選択が運命を左右することになるので
手段を見極められる目を養ってみてくださいませ~eto_ushi.gif






   
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