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2013年東京工業大学前期入試 数学 第1問その1

2013.06.20 22:00|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東工大入試の数学第1問をやりますよ~

2つの問題からなる小問集合のような大問ですよー
今回は(1)の2次方程式の解と整数の応用問題をさくっとやっつけます~yotuba12.gif



2次方程式 x^2-3x+5=0 の2解をα,βとおいてみると
α^n+β^n-3^n は必ず5の倍数になっていることを確かめろっていう
問題ですねー

この2次方程式の判別式を D とおくと
D=(-3)^2-4・1・5=-11<0 が成り立つので
そもそもα,βは実数ではなく虚数です

特に共役な複素数なので α^n+β^n を計算すると
うまい具合に虚部が相殺して実数に,特に整数になるみたいですね。

α^n+β^n を計算するにあたっては
直接α,βの値を利用していくよりも
解と係数の関係を使って攻めていくほうがやりやすいことは想像がつきますbye05.gif


p1_20130620204724.jpg


x_n=α^n+β^n-3^n とおいてみます。
これが5の倍数になっていることを示します。
この手の問題では数学的帰納法が有効に機能します~futaba.gif

数列 {x_n} について,
漸化式 x_{n+2}=3x_{n+1}-5x_n-5・3^n
が成り立つことが計算で確認できます。
これを帰納法を使った証明の中で活用したいので,
次の形で帰納法を使うのが良いです~


(I) n=1,2で命題が成り立つ。
(II) kを自然数として,n=k,k+1で命題が成り立つと仮定すると
    n=k+2のときも命題が成り立つ。


このタイプもしばしば入試問題で出番がありますねaicon_bbs20.gif



p2_20130620204724.jpg
p3_20130620204723.jpg


x_{k+1} は 5y_{k+1} に置き換えていますが
x_k は特に 5y_k に変換していません。
しかし, 「3y_{k+1}-x_k-3^k が整数である」ことを裏付ける根拠として
x_k は整数であるという形で帰納法の仮定を利用していますinsect_kabuto_m.gif






1つ別解を挙げておきます~
大体の場合,式変形の順番は多少変わったとしても
多くの人は上の解法に近いものが仕上がると思いますが,

今度は x_n=α^n+β^n-3^n の変形に関して
α^n+β^n をいじるのではなくて
3^nをいじってみるという発想をしてみたいと思います~benibara.gif

解と係数の関係より α+β=3 なので
x_n=α^n+β^n-(α+β)^n
が成り立ちます。
2項定理を使って展開すると, x_n は α^n と β^n が相殺して
(α^p)(β^q) (p,q≠0) 型の項の集まりになるはずです。
αβ=5 が全ての項の共通因数が出てくるので x_n は5の倍数です~ 
という方針で証明することが出来そうです。

ただし,共通因数5をくくり出して, x_n=5(a_n) と書いた時に
a_n の部分がしっかり整数になっていることを確認しなければいけませんよーbakeneko_20120809140145.gif

パスカルの三角形なんかを思い浮かべてもらえると良いですが
(α+β)^n の展開式に現れる係数はαの昇ベキ順に並べると
ちょうど左右対称になりますね。
α^n+β^n が任意の自然数 n に関して整数になるということを
数学的帰納法で証明しておけば,あとはこの係数の対称性に着目して
a_n に相当する部分がしっかり整数になっていることを述べることができます~s2_sum_bbq.gif



p4_20130620204723.jpg
p5_20130620204722.jpg



帰納法を使う部分は概ね最初の解法と同様にやればOKなので割愛します~

次回は(2)の方をやってみます~s2_sum_beach.gif








    
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