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2013年東京工業大学前期入試 数学 第1問 その2

2013.06.26 05:41|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東工大入試の数学第1問の続きです~



今回は後半の確率の問題をサクッと済ませてしまいます~suika.gif


さいころを投げたときの出目に関する問題なので,
まぁ定番と言えますね。
しっかり得点ゲットしておきましょうねーー


面倒なのはサイコロの個数が6個と,ちょっと多めな感じになってることですね。
6個のさいころを投げてちょうど4種類の目が出る確率は?
ということが問われていますよ~girl_jewel_b.gif




(1個目の出目,2個目の出目,……,6個目の出目)という6個の数字の組を
考えると,それは全部で 6^6 通りありますね。
これが今回の全体の場合の数です。

これは1から6までの数字を重複を許して6個1列に並べる重複順列に
対応させることができますhunayurei.gif


ちょうど4種類の目が出るという状況には以下の2つの事象があります。

(ア)6個のうち3個が同じ目,残りはすべて異なる目
(イ)同じ目が出る2個のサイコロが2組あり,残りはすべて異なる目



よってこの2つの事象が起こる確率をそれぞれ求めて足せば答えが出てきますhiyos.gif



(ア)の方は,出てくる4種類の目を決めてしまうと,そのときの場合の数は
「A,A,A,B,C,D」の6個の文字を1列に並べる順列の総数に対応させて考えることができますkaeru_en4.gif


q1_20130626051317.jpg
q2_20130626051318.jpg
q3_20130626051318.jpg


一方,(イ)の方は,出てくる4種類の目を決めてしまうと,そのときの場合の数は
「A,A,B,B,C,D」の6個の文字を1列に並べる順列の総数に対応させて考えることができますladybug.gif


AとBに当てはめる数字の選び方には注意が必要です。
例えば A=1,B=2,C=3,D=4 の場合と A=2,B=1,C=3,D=4 の場合を
別々にカウントしてしまうと重複カウントが起きます。
例えば(1,1,2,2,3,4)が(AABBCD)と(BBAACD)で2回カウントされます


q4_20130626051319.jpg


q5_20130626051319.jpg






大して別解などがたくさん出てくる問題ではないので,
とりあえず今回は1つだけ,先に出てくる4種類の目を決めてしまうやり方を
別にやってみたいと思います~

出てくる4種類の目をA,B,C,Dとします。
このとき(A,B,C,D)の組は15通りあります。

あとはさっきと同じように(ア)(イ)に分けて考えていきます

(ア)については,A,B,C,Dのうち
とりあえず3回出るのがAであるものの場合の数を求めて
それを4倍(3回出るのがB,C,Dの場合も同様だから)すれば良いと思います。

(イ)についても,とりあえず1回しか出ないものがAとBであるものの数を数えて
それを6倍すればOKです~

q6_20130626051320.jpg

  q7_20130626193915.jpg





大問1はまぁ準備運動のようなものなので,簡単に済ませておいて
次回は大問2をガッツリやっていきましょう~lunch.gif










     
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