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2013年東京工業大学前期入試数学 第3問

2013.07.04 02:59|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東工大入試の数学第3問です~





微分法の応用問題です~cutlet.gif

kを定数として, e^x-x^e=k という方程式の解の個数を数える問題です~
方程式の解の個数を調べる問題は定番ですねー

y=e^x-x^e のグラフと直線 y=k の交点の個数を数える話に
置き換える
のが常套手段です~dog_smile.gif

y=e^x-x^e のグラフの概形を調べるのは若干面倒かもしれませんが,
とりあえずやっていきましょう~


f(x)=e^x-x^e (x>0) とおきます。
f’(x)=0 の解を調べて極値を与えるxを求めますよ~
f’(x)=e^x-ex^(e-1)=0 を解けばよいのですが
2次方程式みたいな扱いやすい形の方程式ではないので,少々悩ましいですね。
とりあえず分かりやすい値を幾つか入れてみることで, 
x=1,e が解になっていることくらいは見付けられます。
ただ,他にどれくらい解があるのかがよく分かりません

e^x-ex^(e-1)=0 を変形して e^(1-x)x^(e-1)=1 に出来ます。
面倒ではありますが, g(x)=e^(1-x)x^(e-1) (x>0) とおいてみて,
y=g(x) のグラフと直線 y=1 の交点の個数を調べてみたいと思います
幸いにも g(x) の方は導関数の形が割と分かりやすそうですよ~

s1_20130703193004.jpg
s2_20130703193004.jpg
s3_20130703193006.jpg

上記の考察において少し補足します~

x→∞ のとき x^k/e^x→0 であることは覚えておくのがいいと思います~
無断でこの事実を使っても割と許されます。
無断で使うのが嫌な人は証明して使うといいですね~
x>0 のとき任意の自然数 n に対して
e^x>1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!
が成り立つことが帰納法を使って示せるので
x>0 だと,特に e^x>x^(k+1)/(k+1)!>0 が成り立ちます。
0<x^k/e^x<(k+1)!/x と変形して x→∞ とすれば
はさみうちの原理から求めたい関係式が得られます~dokuro.gif


また, g(x)の極値の考察については, g(e-1) の値が何やら複雑ですよね。
g(e-1) が1より大きいのか小さいのかによって
y=g(x) のグラフと直線 y=1 の交点の数が変わってきます。
この交点の数を調べるために g(x) を考察したのですから,
g(e-1)について調べようと思うのは自然なことだと思いますが,
上手く計算しないと意外と手こずるかもしれませんeto_ushi.gif

しかし,発想をちょっと変えてみるとあっさりこの問題が片付くんです。
f’(1)=f’(e)=0 であることは分かっていました。
f’(x)=0 であることと g(x)=1 であることは同時なので
g(1)=g(e)=1 であることが分かります。
加えて, x=e-1 が唯一の極値(しかも極大値かつ最大値)であることも
分かっているので,グラフを見れば分かるように 1<g(e-1) 
であることが分かるのです~
g(e-1) の値の詳しい考察をせずに 1<g(e-1) が分かってしまうことが面白いですねeto_uma.gif
そしてこの y=g(x) のグラフの概形から, g(x)=1 の解が
2個だけであることが分かるのです~


f’(x)=e^x(1-g(x)) なので, g(x) の増減が分かった今なら
f(x) の増減も知ることができます。
あとは y=f(x) のグラフを描いて,直線 y=k との交点数を調べれば
この問題は終了ですねーーisona.gif





s4_20130703193007.jpg





よく見る問題として, e^π と π^e はどちらが大きいでしょう
てのがありますが, y=f(x) のグラフをみると f(π)>0
が成り立つことが分かるので e^π>π^e であることが見い出せますねkaeru_en1.gif










さて,元の方程式は e^x-x^e=k という厄介な形をしています。
今度は変数変換を試してみます。
e^x=t すなわち x=log t とおいてみたいと思います

方程式は t-(log t)^e=k に変化します。
x と t は1対1に対応するので, t-(log t)^e=k の 
t>1 を満たす解の個数を数える話に置き換えることができます~

f(t)=t-(log t)^e (t>1) とおいて, y=f(t) のグラフと
直線 y=k の交点の数を調べてみます~kuma_fly.gif

実際やってみると,最初の解法とそれほど大差がないことが窺えます。
やることは概ね最初の解法と一緒です。

s5_20130703193008.jpg
s6_20130703193008.jpg
s7_20130703193043.jpg






上2つの解法は極値を与える x の考察をするために,
一旦別の関数の増減を調べるという過程を入れています。
そうではなくてひたすら f(x)=e^x-x^e の高階導関数に着目してみる
という作戦で攻めてみることも可能ですkudan.gif

2<e<3 であることに注意すると,
x>0 のとき,4階導関数は常に正であることが分かります。
したがって,3階導関数は単調増加関数です
x→+0 のとき f’’’(x)→-∞,
x→∞ のとき f’’’(x)→+∞
であることから,下のグラフからも分かるように, 
f’’’(x)=0 の解は1個のみであることが分かります
それを x=a とおいておきます~

s8_20130703193045.jpg


y=f’’’(x) のグラフから2階導関数 y=f’’(x) が
0<x<a のとき単調減少,x=a で極小かつ最小になり,
x>a のとき単調増加になることが分かりますね。
x→+0 のとき f’’(x)→1(>0),
x→∞ のとき f’’(x)→+∞
であるので,最小値 f’’(a) が正か負かによって,
1階導関数 f’(x)が極値を持つかどうかが決まります。
ところが, a の値がよく分からないため, f’’(a) の符号がよく分かりませんkojika.gif

そこで,これまでの解法と同様に,直接 f’’(a) の値を考察せずに
外堀を埋めることで f’’(a) の符号を判定します

試しに x=1 を代入してみると, f’’(1)<0 になることを見い出せます。
このことから f’’(x)<0 となる x が存在することが確かめられました。
最小値 f’’(a) は f’’(1) 以下の値なので確実に負です


s9_20130703193046.jpg


y=f’’(x) のグラフの概形から, f’’(x)=0 の解は2個存在することが
分かります。それらを x=b,c (ただし b<c ) とおきます~
そして, f’(x) は x=b で極大, x=c で極小かつ最小になりますね。

x→+0 のとき f’(x)→1(>0),
x→∞ のとき f’’(x)→+∞
であることが分かるので, f’(x) が極値を持つかどうかは
f’(c) の符号に委ねられます。

例によって f’(c) の符号はすぐにはよく分からないので
ここでも外堀埋め作戦を使ってみますkitune.gif

f’(1)= f’(e)=0 なので,最小値 f’(c) は0以下になります。
ただし,最小値を与える x は1個のみなので, f’(c)≠0 ですね。
つまり f’(c)<0 であることがいえます。

これで y=f’(x) のグラフが描けるようになるので,
f(x)の増減も知り得ることが出来るようになりますm_0060.gif
あとは他の解法と同様ですね~

s10_20130703193047.jpg
s11_20130703193048.jpg
s12_20130703193049.jpg










極値などの符号を調べるのに,外堀を埋めることで判定するという
面白い作戦が有効になる楽しい問題でした~m_0207.gif













    
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