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2013年東京工業大学前期入試数学 第4問

2013.07.10 17:30|大学入試問題
どもども。

今回は今年の東工大前期入試の数学第4問をやります~





極限の問題ですね~

0≦x≦π/2 において, sin4nx≧sinx を満たす区間の長さの総和 S_n を
計算して,その n→∞ における極限を求める問題ですねーyotto.gif



純粋に計算だけで処理しようとするよりも,
何かしらの図と併せ見て考えると割とスムーズに思考が進みそうです~


とりあえず単位円を使って考えてみましょうか。
単位円上の点 (cos4nx,sin4nx),(cosx,sinx) の位置に着目しましょう。
sin4nx と sinx はこの2点のy座標に現れますね。
sin4nx≧sinx が成り立つのは,
(cos4nx,sin4nx) が (cosx,sinx) より高い位置にあるときです~w05.gif



t1_20130710163401.jpg


0≦x≦π/2 という条件のもとで考えるので,
4nx の取り得る値の範囲は 0≦4nx≦2nπ になりますね
このうち特に、 0≦4nx<2π の範囲内では,
sin4nx≧sinx が成り立つのは, x≦4nx≦π-x のときです。
同様に, k=1,2,3,…,n-1 に対して
2kπ≦4nx≦2(k+1)π の範囲内で sin4nx≧sinx が成り立つのは, 
x+2kπ≦4nx≦(π-x)+2kπ のときですtakenoko03.gif

これを変形して
2kπ/(4n-1)≦x≦(2k+1)π/ (4n+1) を得ます。
どのような k のときにこの不等式が成り立つかを考えます。
つまり閉区間 [2kπ/(4n-1),(2k+1)π/ (4n+1)] が [0,π/2] に含まれる
ような k を探します。

t2_20130710151012.jpg
t3_20130710151012.jpg
t4_20130710151013.jpg


このことから, k=0,1,2,3,…,n-1 に対して
閉区間 L_n=[(2kπ)/(4n-1),{(2k+1)π}/(4n+1)] を考え,
L_0 から L_{n-1} までの長さの和を計算すれば S_n が求められるというわけですなーtawa02.gif



t5_20130710151013.jpg
t6_20130710151014.jpg



n と k が混在する計算ですが,落ち着いて処理できるようにしましょう~
k に関する和だからn は定数扱いですよ~



さて,今回も別の手段を使って解き直してみます。
単位円を使って 4nx と x を比べる以外だと,
例えば,割とすぐ思いつきそうなのは sin4nx-sinx を和積公式で積の形に直す
という作戦ですかね。
図などを用いずに,ひたすら計算のみで押し切ったりも出来る方法ですningyou.gif


t7_20130710151044.jpg
t8_20130710151044.jpg


(ア)(イ)の2パターンに限定されます。
ここから先も計算だけで処理しても良いのですが,
ちょっと図を使って考えてみますよー

(ア)からいきます~
cos(4n+1)x/2 と sin(4n-1)x/2 の符号の条件が与えられています。
単位円上の2点 (cos(4n+1)x/2,sin(4n+1)x/2),(cos(4n-1)x/2,sin(4n-1)x/2)
の位置に着目しますnasu.gif

cos(4n+1)x/2≧0,sin(4n-1)x/2≧0 となるためには,
(cos(4n+1)x/2,sin(4n+1)x/2) は単位円の右半分,
(cos(4n-1)x/2,sin(4n-1)x/2) は単位円の上半分の位置になければいけません。

一方で,前者は後者と比べて角度的には x だけズレています。
0≦x≦π/2 なので,このズレは高々直角くらいなんですね。

これらの情報からの総合判断で
2点とも第1象限エリアにいないとマズいってことが分かりますkinoko01.gif



t9.jpg
t18.jpg




(イ)の方も同様に考えると,
単位円上の2点 (cos(4n+1)x/2,sin(4n+1)x/2),(cos(4n-1)x/2,sin(4n-1)x/2) 
は共に第3象限エリアにいなければいけないことが分かりますki.gif


t10_20130710151045.jpg




(ア)(イ)で得られた不等式が表す区間は, k ごとに変化していきますが
これらは全く共通部分を持ちません
(ア)から得られたのは最初の解法で出てきた L_k の偶数番目たち,
(イ)から得られたのは L_k の奇数番目たちなんです。

t11_20130710151046.jpg
t12_20130710151046.jpg
t13.jpg


というわけで,それが分かれば,ここ以降の展開は最初の解法と同じです。
それはまぁ,割愛しましょー








この部分に辿り着くまでの過程としてもう1つのアプローチの仕方を考えてみます。
y=sin4nx と y=sinx のグラフ(ただし 0≦x≦π/2 の部分のみ)
を使ってみますheri01.gif



t14.jpg


y=sinx の方は,0から1までひたすら単調増加していくわけですが,
y=sin4nx の方は,ウネウネしているわけですよ。

そういうわけで, 2つのグラフの交点の x 座標を小さい順に x_1,x_2,x_3,…
と定めていくと, sin4nx≧sinx となるのは 
y=sin4nx の方が上にきてる場所なので,そのような区間は
[x_1,x_2],[x_3,x_4],[x_5,x_6],…… になっていますcarrot02.gif
これらが順に L_k に対応していくわけですね。

sin4nx=sinx の解は上の解法と同様で和積公式使って求めればOKです~

t15.jpg
t16.jpg
t17.jpg



これで L_n と同様のものが得られるので,
あとは他の解法と同様に進めていけばOKです~~
というわけで割愛っとbeen.gif









次回は大問5をやります~





   
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