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2013年東京工業大学前期入試数学 第5問 その1

2013.07.24 03:08|大学入試問題
どもども。


今回は今年の東工大入試の第5問がテーマです~



楕円と円が主題の問題です~
円が楕円に内接しているというシチュエーションを考えますよ~


円C_1:(x-a)^2+y^2=a^2
楕円C_2:x^2+y^2/b^2=1

が与えられています。
円C_1はx軸上に中心を持つ原点を通る円になっていますね。
楕円C_2は原点が対称の中心になっている楕円です。
円C_1が楕円C_2に内接するための条件を求めるのが(1)の問題です~girl_jewel_r.gif


そのような状況というのは次の2パターンがあります~hamster_2.gif

(ア)(1,0)が内接点である
       u2_20130724012019.jpg


(イ)(1,0)は内接点ではない
       u5_20130724012021.jpg


円C_1と楕円C_2の方程式からyを消去してxのみの方程式を作ると
(b^2-1)x^2+2ax-b^2=0 …
になります。b≠1のときはxの2次方程式ですが,
b=1のときは1次方程式になりますね。
b=1のときは楕円C_2はちょうど単位円 x^2+y^2=1 になっています。

一方,円の方程式より, y^2=a^2-(x-a)^2 …
が得られます。  と  を連立させたものの解によって
2曲線の交点の座標が与えられるのでしたkaeru_en2.gif








では,(ア)のパターンから見ていくことにしましょうか。
接点 (1.0) は円の右端でもあるので (2a,0) と一致するため
a=1/2 であることが直ちに分かりますね

b=1のときは円C_1が(楕)円C_2に内接していることは容易に確認できます。
b≠1の場合について考えてみましょう。

円C_1が楕円C_2に内接しているための条件を考えるということなので,
 が重解を持てばいいんじゃないかと思うかもしれません。
実はそれは大きな落とし穴なんです

 ⇔ (x-1){(b^2-1)x+b^2}=0
なので,x=1 のほかに x=b^2/(1-b^2) という解を持ちます。
 が重解を持つのは b^2/(1-b^2)=1 となる
b=1/√2 のときだけです。下図の時がちょうどそれです。

     u2_20130724012019.jpg

bが 1/√2 より大きい時も円C_1が楕円C_2に内接しています
下図は b=4/5 のときのものです。

     u3_20130724012020.jpg

あれ? x=b^2/(1-b^2) のときの交点はどこ行ったんだ?
2曲線は(1,0)でしか交わっていないぞ?
な~~んて思ったかもしれませんkame.gif
上のほうで2曲線の交点は  と  を連立させたものの解によって
与えられると述べました。
x=b^2/(1-b^2) を  に代入してy座標を求めようとすると
実は b>1/√2 のときは y が実数にはならないんです
(ちなみに b^2/(1-b^2) 自体が1より大きくて楕円からはみ出てます)
よって連立方程式の解が (x,y)=(1,0) だけになっちゃうんですね。
よって  が重解を持たなくても2曲線が接しているという状態が起こり得るわけです。
特に今の場合はしっかり円のほうが内接しています。

一方で, 0<b<1/√2 の時は何が起こるでしょう。
このときは x=b^2/(1-b^2) のときの交点もしっかり存在します
下図は b=1/4 の場合です。交点が全部で3個ありますね。

      u1_20130724012019.jpg

この交点が,bが 1/√2 に近づくにつれてどんどん (1,0) に
近づいてきます。そして b=1/√2 になったとき
に3個の交点が1つに重なってしまうという仕組みです。

見れば分かりますが, 0<b<1/√2 のときは
円C_1は楕円C_2に,内接ではなくて外接しているので不適です~ladybug.gif



u8_20130724012106.jpg
u9_20130724012106.jpg
u10_20130724012107.jpg
u11_20130724012107.jpg
u12_20130724012108.jpg
         u7_20130724012105.jpg
         u13_20130724012136.jpg




次は(イ)について検証していきましょう~
b=1 の場合は楕円C_2が円になるため(ア)の方で考えた a=1/2 のときしか
条件を満たしませんので, b≠1 の場合について考えます。

こちらの場合においては  が重解を持つ条件と大きく関わってきますm_0232.gif
 が相異なる2個の実数解を持つときは下図のように
2曲線は4個の交点を持ちます。

      u4_20130724012020.jpg

右側の方の交点が (1,0) まで寄ってしまったのが(ア)の場合ですね。
今の場合上の方の2個の交点がビタッと重なってしまったときが
重解になる時と一致していて,それが円が楕円に内接するときでもあるわけですm_0231.gif


というわけで  の判別式が0になるという条件が立てられますね。
ところが,ここで再び落とし穴がありますm_0006.gif
判別式=0 だけでは条件が足りないのです。
一体どういうことでしょう

 と  を同時に満たす (x,y) が2曲線の交点ですが
b>1/√2 のときは接点の y 座標がなんと実数になりません。
x 座標もまた楕円からはみ出てます。
従って, 0<b≦1/√2 という付加条件がついてくるんです。
相当注意深くないと見落としてしまいそうですね

なお,端点 b=1/√2 では (1,0) が接点になってしまうので
この点は外しておかないと(イ)の条件に反してしまいます。


以上のことをまとめることで,答えが出てきます~

           u6_20130724012021.jpg

u23.jpg

u15_20130724012137.jpg






落とし穴の多い怖い問題でしたね。
このような落とし穴にハマりにくい別解法を1つ挙げておきたいと思います。
2次関数の話に帰着するパターンですm_0233.gif


円C_1の中心を M(a,0) とおきましょう。
また楕円C_2の上半分の任意の点 P(t,b√(1-t^2)) を取ります。
上半分に限定するのはこの楕円が上下対称だからですね。
さて,「Pが楕円の上半分を自由に動くとき,線分 MP の長さの最小値が
円の半径 a と一致する」
ということが円C_1が楕円C_2に内接するための条件として
言い換えることが出来ますpakukapa.gif

そしてそのことは更に「関数 f(t)=(1-b^2)t^2-2at+b^2 (-1≦t≦1) の
最小値が0である」
という条件に言い換えることができるので,
そこから先はやり慣れた2次関数の問題になってしまうのであります。

x^2の係数が0のとき(つまりb=1のとき)は1次関数になってしまいますが,
0でないときは係数が正なら下に凸,負なら上に凸の放物線です。
あとは軸の位置などに着目して場合分けをするといういつものパターンですonigiri_1.gif


下に凸となるのは 0<b<1 のときです。
軸の方程式は t=a/(1-b^2)>0 なので,
軸の位置が x=1 より左か右かによって,
頂点のところで最小となるかf(1)で最小かが決まりますoni.gif


u16_20130724012137.jpg
u17_20130724012138.jpg
u18_20130724012138.jpg
u19_20130724012200.jpg
u20.jpg
u21.jpg




一方で,上に凸の放物線になるのは 1<b のときです。
この時は f(t) の最小値は,軸の位置などによらず
いつも f(-1) か f(1) のどちらかなのですが,
a>0 の条件から f(-1)>f(1) が得られてしまうため
最小値は f(1) ですrabi_love.gif



u22.jpg







ということで,それほど落ちやすい落とし穴はなかったかと思います。

次回は(2)からやっていきますtyoutcin.gif


















          
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