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2013年東京工業大学前期入試数学 第5問 その2

2013.08.03 12:57|大学入試問題
どもども。

今回は前回の残りをサクッと片付けてしまいます~





最後の第5問をやっていました~
(1)を前回やっつけたので,残りの(2)(3)をやります~

円C_1が楕円C_2に内接しているという状況です。
b=1/√3 の場合を考えていくので,
下図のような状況ですhamster_2.gif



v9_20130803122251159.jpg


接点(p,q)を求めるのが(2),青斜線部の面積を出すのが(3)です~

まずは(2)です。
(1)の結果より a の値も確定します。
よって,円C_1と楕円C_2の方程式が定まりますので,
2つの方程式を連立させて解くことで交点の座標,つまり接点の座標が計算出来ます

v1_201308031217573f8.jpg



また,前回の最初の解答では,接点の座標を b の式で表示していました。
これに直接 b=1/√3 を代入するというやり方でもいいですね


v2_20130803121758ae8.jpg



続いて(3)です~
円C_1の中心 (√2/3,0) と接点 (√2/2,√6/6) を結ぶ線分と
x 軸がなす角は π/3 になっていることを利用すると効率が良いです。
楕円部分の面積も最終的には円の一部の面積計算に帰着できます

v3_20130803121758de6.jpg



楕円というのは,円を縦や横に拡大したり縮小したりしてできる図形なので,
面積計算も,基準となる円の面積を求めてしまえば,
あとは適当な比例計算で面積が出せます。

それを意識してもう1回やってみます。


楕円C_2の右半分から,下図の下線部と円C_1の面積を引いてやれば
求める面積が計算出来ますね。今度はこの考え方を使ってみましょうhiyos.gif



v4_20130803121759633.jpg



楕円C_2は単位円を原点を中心に縦に 1/√3 倍したものです。
面積は単位円を基準に考えると良いでしょうkasabake.gif




v5_20130803121759395.jpg
v6_20130803121800f32.jpg


斜線部の面積は,下図の緑部分を 1/√3 倍したものから
茶色部分を引けば出てきますkorobo.gif


v7_20130803121847f87.jpg


あとは全体の面積計算するといいですねー


v8_201308031218472d7.jpg













     
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