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メネラウスの定理のちょっとした拡張について

2013.08.04 15:22|数学
どもども。



おなじみのメネラウスの定理。

今回はそれのちょっとした拡張を考えてみましょう~~rabi_shy.gif





まずはシンプルなメネラウスの定理から

a1_201308041413421ae.jpg


三角形に直線が交わっている状態で成り立つ,線分比に関する定理でした。
ちなみに,定理の逆もまた正しいです。


メネラウスの定理の証明の仕方は色々あるかと思います。
今回は三角形の頂点から直線 ℓ へそれぞれ垂線を下ろして
相似な三角形の組を複数作ることによって確かめてみたいと思います~heart01.gif



下図のように垂線AH_1,AH_2,AH_3を引いてみます。
3本の垂線は互いに平行ですね。
△APH_1∽△BPH_2, △RBH_2∽△RCH_3, △CQH_3∽△AQH_1
のような相似な三角形の組が見つかります。
このとき,定理の関係式の中の線分比を
垂線同士の線分比に直すと,相殺合戦が起こって比たちの積は1に落ち着きます~


a2_2013080414134286a.jpg
a3_201308041413436cb.jpg




メネラウスの定理は,下図のように△ABCと直線 ℓ が
直接交わっていない場合でも成り立ちますkaeru0-02.gif


a4_201308041413439c2.jpg


証明はやはり△ABCの頂点から直線 ℓ に垂線を下して
相似な三角形の組を複数作るという方針でやれます



a5_201308041413442ae.jpg





それでは,メネラウスの定理の拡張を考えてみましょう。

なんと直線 ℓ と交わるのが三角形に限らず,四角形や五角形や六角形,
あるいはもっと一般の n 角形でも,メネラウスと同様の線分比の関係式が成り立ちます~


多角形の頂点から直線 ℓ へ垂線を下して相似な三角形の組を複数作る。
この発想はいつでも同じです~




a6_2013080414134447f.jpg


四角形ABCDに直線 ℓ が交わっているパターンです。
証明方法はさっきまでと同様です~hunayurei.gif



a7_201308041414423c0.jpg




こちらも四角形ABCDに直線 ℓ が交わっているパターンです~
証明もさっきまでと同様なので,もう割愛します~

a8_2013080414144255b.jpg




四角形ABCDが,下図のような凹四角形でも全く問題ありません~




a9_20130804141443466.jpg





五角形ABCDEに直線 ℓ が交わっているパターンです~car2_tank.gif



a10_20130804141443417.jpg




六角形,七角形,八角形,… でも同様ですよ~~dog_angry.gif










それでは,ここでこの拡張されたメネラウスを使って
簡単な問題を実際に解いてみましょう~
どのように定理を適用したら良いのかの具体例です~


a11_20130804141444719.jpg



相似を使ったり,面積比を使ったり,ベクトルを使ったり,斜交座標を使ったり,
というのが通例通りの解法ですね。

とりあえずチェバの定理で BF:FC=2:3 を出してしまえば
あとは四角形DBCEと直線AFに着目して定理を適用します~curry.gif



a12_20130804141444715.jpg
a13_20130804141543a8d.jpg






もう1問やってみましょう~


a14_20130804141543463.jpg




「五角形DBCGPと直線AE」,「△PFGと直線AE」
に着目して定理を適用することで(1)を解き,

五角形DBEQPと直線ACに着目して定理を適用して
(2)をやっつけます~christmas.gif



a15_20130804141544c18.jpg
a16_20130804141545471.jpg
a17_2013080414154598b.jpg





多くの線分比が与えられていて,多角形に直線が交わっている状況では
しばしば有効活用できる場面もあるのかもしれませんねonigiri_1.gif








          
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ジャンル:学校・教育

タグ:数学 メネラウスの定理

コメント

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早とちり鳥

すみません、私の勘違いでしたm(__)m
いつも読ませて頂いておます
楽しくて分かり易い解説ありがとうございます
これからも応援しています!!

No title

>ハニワさん

コメントありがとうございます~
どうやら今回はこちらのミスではなかったようですね。
でも自分もしばしばケアレスミスやらかしてますので!
ぜひぜひ気兼ねなくご指摘くださいませ!
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