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2013年名古屋大学前期入試 理系数学 第1問

2013.08.12 01:14|大学入試問題
どもども。

暑いですね~
今回は今年の名大入試の理系数学第1問です~


3人がじゃんけんを最終的に1人が勝ち抜くまで繰り返すというシチュエーションの
確率の問題です~

ありふれた設定ではありますが,確率漸化式なんかが出てくるので
苦手な人は最初の大問から気が滅入ったかもしれません~

とはいえ,わざわざ漸化式なんか持ち出さなくても
解ける問題だったりするんですけどね




3人がじゃんけんをして,負けた人は脱落していくという形式です。
あいこの場合は誰も脱落しません。
n回のじゃんけんを終えて2人残っている確率が p_n,
3人残っている確率が q_n と定義されていますよ~suika.gif

(1)は p_1 と q_1 を求める問題です~

じゃんけんをする3人をA,B,Cとしましょう。
(Aが出した手,Bが出した手,Cが出した手)の組は 3^3=27 通りあります。

まずは p_1 について考えてみることにしますよー。
つまり1回じゃんけんして2人残って1人脱落する確率ですね。

Aがグーを出すとしましょう。
Aが脱落者となるのは(グー,パー,パー)の1通り,
脱落者とならないのが(グー,グー,パー),(グー,パー,グー)の
2通りあります。合わせて3通りですね。
Aがチョキ,パーを出す場合も3通りずつありますdensya.gif




c1_2013081120432994b.jpg



A,B,Cが負ける場合がそれぞれ3通りずつあることに着目して
計算してもOKですよ~

c2_20130811204329110.jpg
c3_201308112043306c3.jpg


q_1 について考えてみましょう~
つまり1回じゃんけんして脱落者が出ない確率ですね。
これには2つのパターンがあります。
3人とも同じ手を出すか,あるいは3人ともバラバラの手を出すか,ですmushi.gif


c4_20130811204330324.jpg


p_1 のときと同様に,Aが何の手を出すかで分類するやり方でもOKです~car-usa.gif


c5_20130811204331189.jpg
c6_201308112043310f8.jpg





次は(2)を考えてみましょう~
漸化式を立てて p_n と q_n の一般項を求めます。

そのために,n回目→(n+1)回目のときの
遷移の仕方について考えてみましょう

(n+1)回目のじゃんけん終了時に2人残っている場合には
次の2パターンがあります。

(ア)n回目のじゃんけん終了時には2人残っていて,
  (n+1)回目には誰も脱落しない
(イ)n回目のじゃんけん終了時には3人残っていて,
  (n+1)回目には1人脱落する


(ア)について詳しく考えてみることにすると,
2人の人間が1回じゃんけんするとき,あいこになる確率というのは1/3です。
(n+1)回目の試行はじゃんけんに参加するのは
3人ではなくて2人である
ことを見落とさないようにしましょう。
n回目までの試行と(n+1)回目の試行は独立ですので,
(ア)の確率は p_n×1/3 と計算されます~

(イ)の方は,(n+1)回目の試行もじゃんけんに参加するのは3人なので
(1)で出した確率が利用できます~shm01.gif


c7_20130811204355f76.jpg

 c8_20130811204356518.jpg


一方で,(n+1)回目のじゃんけん終了時に3人残っている場合というのは,
n回目の時点までに1人も脱落していないことがまず求められますね。
その上で,(n+1)回目のじゃんけんでも誰も脱落してはいけません。
これは(1)の結果が利用できますね。
出てくるのは簡単な漸化式なので q_n の一般項はすぐに出せますrisu.gif



c9_201308112043560ad.jpg


あとはこの結果を最初の漸化式に代入して p_n を計算すれば良いです。
よく出てくる定番の形なので何とか解けると思いますrabi_smile.gif


c10_201308112043576d7.jpg



一応,これは連立漸化式の問題だったわけです。
たまたま片方がとても簡単な形でしたが。

行列計算を使えば p_n と q_n を同時に求めることも可能です~
通常の数列の漸化式を解くのと同様の計算の流れが従います。

c11_2013081120435782f.jpg
c12_20130811204357c80.jpg

行列のn乗は今みたいに簡単に求められるものもありますが,
面倒くさい計算が必要なことも多いです~
ここでは割愛してますが帰納法で証明しておくのが宜しいです。


c13_2013081120443102a.jpg


さて,冒頭にも述べたように,
この問題は敢えて漸化式を用いなくても解くことができます。
漸化式を持ちだしたのは(3)を考えやすくするためかな~と思います。

ここでちょっと,漸化式無しで(2)を考えてみましょう。

まずは p_n です。
n回目のじゃんけん終了時に2人残っている確率ですね。
つまり,1回目からn回目までのうちのどこかで1人脱落しなければいけません。
それがk回目であったとすると,このkの選択がn通りあります。
kの値がどれであったとしても,それぞれ確率は (1/3)^n なので,
p_n はそれのn倍である
ことが分かりますs2_sum_hotaru.gif


c14_201308112044322ba.jpg
c15_201308112044328d3.jpg



q_n の方はもっと明らかです~
n回目終了まで誰も脱落しないということは,
各回のじゃんけんが3人とも同じ手を出しているか
3人とも別々の手を出しているかのどちらかである
ことが決まっているからです~s2_sum_furin.gif



c16_2013081120443393f.jpg






最後は(3)ですねー。
ちょうどn回で最終的な勝者1名が確定する確率を求める問題です~

n回目を終えて2人残ってるのが p_n, 3人残ってるのが q_n だから
1人残ってるのは余事象の確率で 1-p_n-q_n である
などという安易な発想に走ると落とし穴にハマります

(n-1)回目終了時までに勝者が決まっている確率と,
決まっていない確率の和は全確率1になりますね。
ちょうどn回で最終的な勝者1名が確定する確率は
(n-1)回目終了時までに勝者が決まっていない確率-p_n-q_n
が正しいです。1から引くのではありません。

(n-1)回目終了時までに勝者が決まっていない確率というのは
なんとなくややこしそうなので,この余事象的なアイデアは一旦置いておきます。
(2)で使った漸化式を利用してみましょうny_kadomatsu.gif

ちょうどn回で最終的な勝者1名が確定する場合というのは
次の2パターンあります~

(ア) (n-1)回目終了時に2人残っていてn回目にどちらかが勝つ
(イ) (n-1)回目終了時に3人残っていてn回目に誰かが勝つ


あとは(2)で漸化式を立てた部分と考え方は大体一緒ですね。
実際に考察を進めてみると,求める確率を r_n として,
r_n=p_{n-1}×2/3+q_{n-1}×1/3
という式で計算できるようになります。

ただし,(n-1)回目の試行をもとに考えているという前提ですから
n≧2 でなければいけません。
n=1 の場合は別個にして最初に考察しておくと良いでしょう。


c17_20130811204433c60.jpg
c18_20130811204434093.jpg
c19_20130811204447a3c.jpg





最後に, n≧2 の部分について,余事象的な考え方を使った解法も考えてみましょう

そもそも,n回目終了時までに勝者が決まっている確率というのは
(1回目で決まる確率)+(2回目で決まる確率)+(3回目で決まる確率)
+……+(n回目で決まる確率)
=r_1+r_2+r_3+……+r_n
 
であるということに着目しましょうmush.gif

数列{r_n}の初項から第n項までの和を S_n とおくと,
上の確率はちょうど S_n であります。

n回目終了時までに勝者が決まっている確率と,
決まっていない確率の和は全確率1になるので,
S_n+(p_n+q_n)=1 が成り立ちます。
これによって S_n は求められるので,
あとは r_n=S_n-S_{n-1} を計算すればOKです~kasabake.gif


c20_201308112044472fb.jpg




どのようなやり方が好みかは個人差があるかと思います~
やりやすい解法パターンを習得しましょう~kawauso.gif








   
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コメント

全事象について。

質問宜しいでしょうか。

>(n-1)回目終了時までに勝者が決まっている確率と,
決まっていない確率の和は全確率1になりますね。

ここが少し分からなくて、全事象が1となるのはn=1の終了時に勝者が決まっている確率と決まっていない確率の和ではないのかなと考えたのですが、これは間違いでしょうか?

コメントありがとうございます~

>全事象が1となるのはn=1の終了時に勝者が決まっている確率と決まっていない確率の和ではないのかな

全事象の部分は全確率のことだと思いますが,
(n=1の終了時に勝者が決まっている確率)と(決まっていない確率)の和が1という考え方は,全くその通りですv-353
このとき,今度は後者の(n=1の終了時に勝者が決まっていない確率)が
(n=2の終了時に勝者が決まっている確率)と(決まっていない確率)の和になっていて,後者の(n=2の終了時に勝者が決まっていない確率)が
(n=3の終了時に勝者が決まっている確率)と(決まっていない確率)の和になっていて,以下同様に続いていきます。

したがって,
(全確率1)
(n=1の終了時に勝者が決まっている確率)+(決まっていない確率)
(n=1の終了時に勝者が決まっている確率)+(n=2の終了時に勝者が決まっている確率)+(n=2の終了時に勝者が決まっていない確率)
(n=1の終了時に勝者が決まっている確率)+(n=2の終了時に勝者が決まっている確率)+
(n=3の終了時に勝者が決まっている確率)+…+(n=kの終了時に勝者が決まっている確率)
+(n=kの終了時に勝者が決まっていない確率)

(n=kの終了時までに勝者が決まっている確率)+(決まっていない確率)


という風になるわけです。
これが本文中でいうところの S_k+(p_k+q_k)=1 に対応しています。
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