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2013年名古屋大学前期入試 理系数学 第2問

2013.08.14 16:26|大学入試問題
どもども。

今回は今年の名大入試理系数学の第2問です~



対数とガウス記号の融合問題ですね~
しかも(1)は微積分の知識も必要とされるので,
総合的な知識が問われる問題になっています。
なかなか強敵そうですね


(1)は不等式の証明問題です。
この不等式は(2)を解く上での有用な道具になります。

f(x+1)-f(x) という形が含まれています。
この形を見て,どのような作戦が浮かぶでしょうかmikan01.gif

どちらも log の式なので f(x+1)-f(x) をとりあえず計算してみようか。
そういうアイデアも浮かぶでしょう。
f(x+1)-f(x) は, f’(t) を t=x から t=x+1 まで
積分したものだ! という発想で攻めるアイデアもあるでしょう。
f(x+1)-f(x)={f(x+1)-f(x)}/{(x+1)-x} 
であることに着目して平均値の定理を使ってみるという発想もあるかもしれません。

今回の問題では,平均値の定理を使ってみるアイデアが
なかなか有効ですkoinoburi04.gif
大学入試ではあまり使用頻度は高くない定理ですので,
突然使えと言われても当惑してしまう可能性はありますけどね。


a>0として, x=a と x=a+1 の間の区間に着目して
平均値の定理を適用してみることにします。
平均値の定理を使うには,いくつかの前提条件がありました。

第一に, f(x) が a≦x≦a+1 で連続であること。
第二に, f(x) が a<x<a+1 で微分可能であること。

この条件のもとで,
f(a+1)-f(a)={f(a+1)-f(a)}/{(a+1)-a}=f’(b) (a<b<a+1)
を満たす定数 b が存在するということがいえます

f’(b)=100/b なので,
ここまで導けると不等式の証明は容易なはずです。

d1_20130814162158709.jpg
d2_20130814162159132.jpg




積分を使った証明もやってみます。
まず,証明すべき不等式の各辺を100で割って,

1/(x+1)<log (x+1)-log x<1/x

と変形してみましょう。
この不等式を証明するために,下図の面積の大小関係に注目しますheri01.gif
左から右に向かって面積は大きくなっていきますね。


d3_2013081416215999e.jpg



次は(2)ですね。
おなじみのガウス記号。苦手な人の方が多いでしょうか。
[x] は x を超えない最大の整数,つまり x の整数部分です。
[f(1)],[f(2)],[f(3)],…,[f(1000)] のうち,
値の異なるものが何種類あるかという厄介な質問をしてきています。

実際にいくつかの値を対数表を使って求めてみるとこんな感じです

d4_20130814162200078.jpg


対数関数 y=log x のグラフを思い浮かべてみると良いのですが,
この関数は x>0 では単調増加ではあるものの,
その増加の仕方はだんだん緩くなっていって,増加の幅が小さくなっていきますね。
そういうわけで, n=1000 近くだと
いくつかの n に対して f(n) の整数部分が共通だったりするのですね。

じゃあ f(n) と f(n+1) の間の増加幅は一体どれくらいなんだろう
ということを評価するのに(1)の不等式が役に立ちますheart22.gif


d5_20130814162200888.jpg

やはり後半ほど増加幅は小さいですね。
f(1000) と f(999) ではその差が約0.1ほどしかありません。

一方で,序盤については増加幅は割と大きめです。
f(1) と f(2) の差は50よりも大きいので,
どう考えても f(1) と f(2) の整数部分は異なります。

f(n) と f(n+1) の整数部分が確実に異なるということが
明らかに分かるのは果たしてどんな時でしょう。

それはズバリ,f(n) と f(n+1) の差が1以上であるときですhanaji03.gif
このことに注目すると, (1)の不等式より n≦99 のとき
1≦f(n+1)-f(n) が成り立つことを導けるので,
[f(1)],[f(2)],[f(3)],…,[f(100)] 
は全て別々の値であることが分かります


d6_201308141622014e3.jpg



100≦n のときは, f(n+1)-f(n)<1 になってしまうので,
f(n+1) と f(n) が同じ整数部分を持つ可能性が出てきますhana-ani01.gif

[f(100)],[f(101)],[f(102)],…,[f(1000)] が,全て違う値だったら
全部で901種類出てくることになります。
しかし,実際は [f(100)]=460,[f(1000)]=690 になるので, 
[f(100)],[f(101)],[f(102)],…,[f(1000)]
に出現する整数の候補は, 460,461,462,……,690 の231個です。
整数部分が重複するものが結構あるみたいですね。

果たして,この231個の整数のうち,
実際に出現してくれるのは何個なのでしょう


100≦n のときは, f(n+1)-f(n)<1 だったわけですが,
これはつまり,どう足掻いても f(n+1)の整数部分は 
f(n) の整数部分と同じになるか,あるいは1個大きくなるかの
どちらかでしかないということです。
すなわち [f(n+1)]=[f(n)] または [f(n)]+1 ですねcarrot02.gif

460,461,462,……,690 の中に含まれる m であって,
[f(n)]=m を満たす n が存在しないようなものがあるとしましょう。
ということは, m≦x<m+1 の区間には
どの f(n) も存在しないことになるので,この区間は空白状態になってしまいます。
しかし,空白の区間の長さが1以上になってしまうことはあり得ないはずです。
なぜなら,隣り合う f(n) と f(n+1) の間の距離は1未満のはずですから。
したがって, 460,461,462,……,690 は全て
[f(100)],[f(101)],[f(102)],…,[f(1000)] の中のどこかに
少なくとも一度は出現することになります

d7_20130814162228f11.jpg
d8_20130814162229b54.jpg
d9_201308141622292b4.jpg

d10_20130814162230ada.jpg


大体今のと同じようなことを説明すればいいわけですね。
背理法を使わないで説明するやり方も1つ挙げておきます

[f(n+1)]=[f(n)] または [f(n)]+1
でしたので, [f(n)] の列は値が増える時は必ず1増えるわけです。
[f(100)]=460 からスタートすると,
次に値が増えた時はその [f(n)] の値は461に確定です。
その次に増えた時は462,更にその次は463です。
具体的にどの n で値が増えるかはさておいて,
とにかく 460,461,462,463,……,と順番に増えていって
最終的に690に到達するのです。
だから [f(n)] は 460,461,462,……,690 
の全ての値を取るのですapple02.gif



d11_20130814162230fe0.jpg


落ち着いて考えてみれば当然じゃん!とか思うかもしれないですが,
もしも,具体的にどの n で値が増えていくのか(上の書き方でいうところの
数列 {n_k} を具体的に考察することですね) にこだわって考察しようとすれば,
これはなかなか難しいです。
だから発想の切り替えというものが必要になってくるわけですね8184765.gif












         
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