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1991年 第1回日本数学オリンピック予選 第11問

2013.08.20 20:54|数学
どもども。

今回はちょっとした番外編です~rabi_shy.gif

1991年の第1回日本数学オリンピック予選の大問11を取り上げてほしいという
リクエストを頂いたので,今回はそれをやってみます~

あ,ちなみにリクエストを受けるかどうかは基本的に気まぐれです~
とんでもない難問とか頼まれたら,そもそも解けなかったりしますからなぁ~~

今回の問題リンクは例えばこの辺とかから~箱ドット2mini
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/jmo.pdf

問題の概要としては,
AとBを並べて長さ15の順列を作るそうな。
AAAAAAAAAABBBBB  とか
ABABBAAABABBABA  とか。
このとき,順列の中に「AA」が5個,「AB」,「BA」,「BB」が3個ずつ
含まれるような並べ方は何通りありますかねという厄介な問題でございますbuta.gif


AAAAAAAAAABBBBB の場合だと,「AA」9個 「AB」1個 「BA」0個 「BB」4個
なので,問題の条件を全然満たしていないわけであります。

じゃあ,条件を満たしているのはどんな並べ方か。

AAAABBBBAABAABA  とか
AAAAAABABABBBBA  とかは条件を満たしていますね

なかなか大変そうです~
何に着目して考えてみましょうか。

Aが連続するカタマリ,Bが連続するカタマリに着目するとか
「A→B」,「B→A」に切り替わる箇所に着目するとか
といった辺りが順当なところですかね。

Aが連続するカタマリ,Bが連続するカタマリがそれぞれ何個あるかというのは
分類が必要そうで面倒そうです。
一方で,「A→B」,「B→A」に切り替わる箇所というのは
ある程度限定されそうですよ。まずはこれに注目してみましょうかeto_inu.gif

「AB」と「BA」はそれぞれちょうど3回ずつ出現しなければいけません。
コレが意味するところは,全体の順列が次の2パターンに分類できて
どちらも以下に挙げるように7個のパーツに分解できるということでありますkitune.gif

(ア)  (Aのかたまり1)(Bのかたまり1)(Aのかたまり2)(Bのかたまり2)(Aのかたまり3)(Bのかたまり3)(Aのかたまり4)

(イ)  (Bのかたまり1)(Aのかたまり1)(Bのかたまり2)(Aのかたまり2)(Bのかたまり3)(Aのかたまり3)(Bのかたまり4)



あとはそれぞれのかたまりにAまたはBが何個並ぶかを考えれば良いと思います~niwatori.gif


まずは(ア)の方を考えてみましょうか。

Aのかたまりが4つあります。
Aのかたまり1~4に含まれる「AA」の数の組が色々考えられます。
例えば(5,0,0,0)というものがります。
同種のものとして,(0,5,0,0),(0,0,5,0),(0,0,0,5)
が考えられますね
「AA」が5個含まれるかたまりは「AAAAAA」になり,0個含まれるかたまりは「A」
になるわけです。

同様に考えていくと,
(4,1,0,0) のタイプが12通り,
(3,1,1,0) のタイプが12通り,
(3,2,0,0) のタイプが12通り,
(2,1,1,1) のタイプが 4通り,
(2,2,1,0) のタイプが12通り
あるので,Aの配列の仕方は全部で56通りあります~


一方で,Bのかたまり1~3に含まれる「BB」の個数の組が
(3,0,0) のタイプが3通り,
(2,1,0) のタイプが6通り,
(1,1,1) のタイプが1通り
あるので,Bの配列の仕方は全部で10通りあります。

Aの配列とBの配列は互いに影響を受けることはないので,
積の法則より,(ア)型の順列は全部で 56×10=560(通り) です





(イ)型の順列もこれと同様に考えると良いです。

Aのかたまり1~3に含まれる「AA」の数の組が
(5,0,0) のタイプが3通り,
(4,1,0) のタイプが6通り,
(3,2,0) のタイプが6通り,
(3,1,1) のタイプが3通り,
(2,2,1) のタイプが3通り
あるので,Aの配列の仕方は全部で21通りあります~

一方で,Bのかたまり1~4に含まれる「BB」の個数の組が
(3,0,0,0) のタイプが4通り,
(2,1,0,0) のタイプが12通り,
(1,1,1,0) のタイプが4通り
あるので,Bの配列の仕方は全部で20通りあります。

よって,(イ)型の順列は全部で 21×20=420(通り) です~tyoutcin.gif





したがって,答えは 560+420=980(通り) になります~tyou.gif




    
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コメントありがとうございます~

なるほど,0の扱いで当惑してしまったのですね~
「AA」が k 個含まれるかたまりは
Aが (k+1) 個並んでいるので
(ア)ではどの配列でもAは合計9個,Bは合計6個
(イ)ではどの配列でもAは合計8個,Bは合計7個
含まれています。このことから条件を満たす順列は必ず長さ15になってることが
確認できます。長さ15以外のものが出てくるみたいな感じだったら
もっと難しい問題になっていたかもしれませんね~
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