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2013年名古屋大学前期入試 理系数学 第3問 その2

2013.08.28 00:02|大学入試問題
どもども。


今回は前回の続きですよ~


前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-date-20130827.html


n乗数の和に関する問題でした~
今回は(2)からです~


e1_201308271732317bb.jpg


(1)は T_m(1) と T_m(2) を求める問題でしたね。
(2)は 一般の n に対して T_m(n) を求める問題です。

前回の冒頭で挙げた通り,以下の関係式から T_m(n) を求めるのが簡単ですepuron.gif


e3_20130827173232ee5.jpg



とはいえ,何のヒントもない状態ではこのような発想は浮かびにくいことでしょう。
出題の流れから考えると,(1)で求めた答えから
T_m(n)=(n+1)^m-(n+1) であることを類推して
数学的帰納法で証明するというのが,一番流れに沿った解法と言えそうですcurry02.gif


f1_20130827205555be9.jpg
f2_20130827205556762.jpg


帰納法を用いない方法としては,例えば階差数列を用いた計算なんかが考えられますねcar02.gif



f3_20130827205556f30.jpg
f4_201308272055572b1.jpg



二重級数の和の順序交換を考えると直接 T_m(n) を計算できたりします。

f5_20130827205558cf8.jpg





最後は(3)ですが,なんだかややこしそうなことが書いています。
内容を理解するのに時間がかかりそうですね。

p を3以上の素数としましょう~
k=1,2,3,…,p-2 に対して
S_k(p-1)=1^k+2^k+3^k+…+(p-1)^k 
は常に p の倍数になることを確かめる問題です~carrot01.gif

突然この問題だけを与えられると方針立てに苦労しそうですが,
きっと(2)までの流れが誘導になっているんじゃないかと
予想が出来ますよね。

ここで冒頭に挙げた関係式をもう一度見直してみてください。
これがヒントになります。


ここでも数学的帰納法を用います。
S_1(p-1), S_2(p-1), S_3(p-1), …
が次々 p の倍数になることを確かめていく方針です。
今回は全ての自然数 k に対して成り立つ議論ではなくて
有限個の k に対して成り立つ議論を帰納法で行います。
そのような場合でも帰納法は使えるんです。
帰納的に次々と成り立っていく事柄であれば適用できるはずですねbear.gif



なお,途中で p-3 という数値が出てきます。
これが自然数であるためには p≧5 でなければいけません。
このため, p=3 の場合だけ別に取り扱いますwaraioni.gif



f6_20130827205558863.jpg

f7_201308272056077f1.jpg








次回は第4問です~tankoro.gif




   
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