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2012年東北大入試(後期)理系数学第5問その2

2012.08.31 03:26|大学入試問題
どもども。

前回の続きで今年の東北大入試(後期)の理系数学第5問をやっていきます~w01.gif


問題はこちら~箱ドットおにおん2mini
m5

前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-12.html



今回は(2)からやっていきますよ~
θ=2π/7というのは,下の図のように円を7等分したときの1つ1つの中心角の大きさで,
1,α,α^2,α^3,α^4,α^5,α^6は複素平面上で正七角形の各頂点になっていますururu03.gif

7kaku.jpg

(注:軸にある「Re」は実軸(real axis)であることを表しています。虚軸(imaginary axis)は「Im」を使います。また複素数zの実部はRe(z),虚部はIm(z)と書きます)

まずα^7=1を示す設問がありますが,これは(1)で示したド・モアブルの定理で瞬殺ですakaname.gif

また,βがαの逆数であることや共役複素数であることを使うことで
k+ℓが7の倍数のとき,α^k=β^ℓであることをいうことができます~body_run.gif




bouquet.gifβがαの逆数であることを使う

j1.jpg

bouquet.gifβがαの共役複素数であることを使う

j2.jpg



厄介なのは(3)以降ですね~dog_angry.gif

A=α+α^2+α^4,B=β+β^2+β^4とおいてA+BとABの値を求めよというものです~

解法パターンはいくつかあるかと思いますが,大きく考えるとBをαの式に直してしまう発想か,あるいは
BがAの共役複素数になってることに着目するかのどちらかに落ち着くことが殆どかと思いますcurry.gif

(2)からの流れを踏まえると,Bをαの式に直してやるのが一番標準的な解法といえそうですね。
実際それが一番早く答えを求められます~clover.gif

bouquet.gif等比数列の和の公式を利用する解法

具体的にどのようにBを変形するかというと,(2)より,
β=α^6,β^2=α^5,β^4=α^3という関係式が成り立つので,
B=α^6+α^5+α^3 と書けてしまうんですねdolphin.gif

従って,A+B=(α+α^2+α^4)+(α^6+α^5+α^3)=α+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6
というキレイな和になっているんです~
あとは等比数列の和の公式を使えばOKdokuro.gif

j3.jpg

ABのほうも,整理してみるとやはりα+α^2+α^3+α^4+α^5+α^6がでてきます~hamster_2.gif


j4.jpg



bouquet.gifα+1/αの多項式に帰着させる解法

A+B=(α+β)+(α^2+β^2)+(α^4+β^4)
   =(α+1/α)+(α^2+1/α^2)+(α^4+1/α^4)

と書けますが,これはM=α+1/αの多項式として書けるのでありますladybug.gif
xとyの対称式をx+yとxyを用いて表す問題はよくあるかと思うのですが,それの応用として,
x=α,y=1/αの場合というのがあります。この場合,xy=1が定数なのでxとyの対称式は
x+yすなわちMの式で表せるわけですねlight.gif

まずはMが満たす関係式を求めてみます~

j5.jpg

この等式を用いて,A+BとABを求めてみましょう~kuma_fly.gif

j6.jpg
j7.jpg

j8.jpg



次回は更に三角関数の計算辺りも駆使して,この(3)の別解法について考えてみます~korobo.gif






    
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東北大 入試 数学 受験 ド・モアブルの定理 正七角形 極形式 回転移動 加法定理 三角関数

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