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2013年名古屋大学前期入試 理系数学 第4問

2013.09.23 13:24|大学入試問題
どもども。

お久しぶりです。
引っ越しとかあって色々忙しかったのでしばらく停滞しておりました~

今回は今年の名大入試理系数学第4問です~





円盤をx軸に沿って転がすシチュエーションの問題です~

よくある問題ではありますが,今回特殊なのは
円盤が2個付いていて,考察したいのは外側の円盤上の点の軌跡だということです~

内側の円盤の点の軌跡だったら
おなじみのサイクロイドってことで済みますが,
外側の円の軌跡はちょっとだけ形が違っていて
トロコイドと呼ばれる曲線になります。

今回は初期位置が(0,-1)である点Aの軌跡ということですが,
大体こんな図になっていますeto_ushi.gif


g16_201309231109326b4.jpg

t の範囲が 0≦t≦2π に制限されていますが,
その制限を取り払うとこんな形になっていますeto_uma.gif


g17_20130923110933bc2.jpg

自己交差が見られますね~
これが通常のサイクロイドと違っているところです~

一見すると外側の円盤も,直線 y=-1 に沿って転がっているように見えるので
点Aの軌跡もサイクロイドになりそうなものですが,そうではないんですね

同心円が転がるシチューションから,全ての円の円周の長さは等しいというパラドックスを
よく引き出して話題にされたりします。興味があったら調べてみるといいと思いますよ~

もし,外側の円盤が内側の円盤と同じように転がっているのなら,
一周するまでに長さ4πだけ転がらなければいけませんが,実際は2πだけ
転がった時点で一周しています。問題文には「すべることなく転がる」という
キーフレーズが必ず入っていますが,外側の円盤はすべるようにして転がっています。






では具体的に問題を見ていきましょう~face_heart.gif

(1)は点Aの媒介変数表示を与える設問ですね!
内側の円盤の初期位置が原点である点をBとして,まずBの軌跡を考えてみましょう。
これはサイクロイドになるので,その媒介変数表示を得る方法は
見たことがあるのではないでしょうか。

H(t,0) とおくと,転がった距離 OH(=t) は内側の円の弧BHの長さと
一致しています。すべることなく転がるとはそういう意味です。
この点に着目して点Bの媒介変数表示を得ることが出来ますheartss_pink.gif



g1_201309231229578fb.jpg

g2_20130923122958a6a.jpg


(→PA)=2(→PB) であることに着目すると
点Aの媒介変数表示もすぐに出てきます~


g3_20130923110657c6c.jpg



続いては, x(t),y(t) の極値を調べていくステップです。
t に関する微分でそれぞれの増減を調べます。
まずは x(t) に関してやってみましょうhiyo_eye.gif


g4_20130923110658c46.jpg

t=0 からスタートして,はじめは x(t) は減少します。
これは曲線が左側に向かっていくということです。
その後 t=π/3 を境に増加し始め, t=5π/3 から再び減少します。
つまり t=π/3 を境に右向きに向かって伸びていった曲線が
t=5π/3 から再び左向きに戻るということです。

次は y(t) の方も同様に考察してみましょう。

g5_20130923110658620.jpg
g6_201309231106590ca.jpg

曲線のy座標の方は t=π までは増加,そこから先は減少となるようです。


dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt) なので, dy/dx の符号なんかもこれで分かったりしますよ~
まぁ,ともかく,これまで得られた情報を総合してグラフを描くと
以下のようになります~kitune.gif


g7_20130923110726267.jpg


冒頭で見た図と同じような感じになりましたね!
あとは答えにあたる座標を挙げれば(2)はおしまいです~


g8_20130923110727375.jpg


最後は積分計算です~
t を使った置換積分に帰着させます。
(cos t)^2 は2倍角の公式で処理するのがセオリーですねkawauso.gif


   g9_20130923110727bf0.jpg

g10_20130923110728ea7.jpg





まぁ,こんな感じでしょうか。
サイクロイド関連は媒介変数表示を利用して考えるのが定番ですが,
逆三角関数を知ってると, t を消去して考えることも可能だったりします

arccos が出てきますが,これは一般に多価関数なので,
一価関数になるように状況に応じて値域を制限してやらねばいけません。

今回では 0≦t≦π と π≦t≦2π に分けて考えます。
θ=arccos{(1-y)/2} とおくと,前者では sinθ≧0,
後者では sinθ≦0 になることがまず1つ注意です。
また,それが理由で微分したときの符号も前者と後者で変わります。

まずは前者の方の曲線を考えてみます。
ちょうど曲線の左半分に相当します。
x=f(y) の形で表示することで x は y の関数になっていますm_0027.gif


g11_20130923110728485.jpg
g12_20130923110729ab5.jpg



右半分の方も同様にやればOKです~


g13_20130923110930af8.jpg
g14_20130923110931b6f.jpg


これらの情報から答えの座標を拾っていけば完了です~m_0140.gif


g15_201309231109329c9.jpg
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

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