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2次関数の決定の問題

2013.09.25 01:56|数学
どもども。


今回は高校数学の定番問題まとめシリーズとして
2次関数の決定の問題をテーマにしてみます~27b503c4e00011e2ad9722000a9e297e7_7.gif


これは要するに,与えられた条件を満たす2次関数を求める問題のことです

様々な条件の与えられ方があって,
それに応じて答えの2次関数を適当な一般形で表示して,
方程式を解くなどして正解のものを決定するというのが定番の流れになります。

「適当な一般形」といっても,いくつかの形があり,
どの形を選択して解いていくかによって手間数が変わってきたりします。
そういうわけで使える作戦の数は多いに越したことはありません。

そこで,定番パターンについてまとめていきましょう~
というのが今回のテーマですw04.gif


それぞれ例題を解きながら考えていきましょう~




 パターン1:頂点通る1点が与えられている

平方完成した形を基点に考えていくとうまくいく典型例です~suika.gif
未知数が1個で済みます。

h1_20130925013442bdc.jpg


 パターン2:通る2点が与えられている

パターン1と同様に,平方完成された形でおいてやると良いです~
未知数は2個になります。

h2_20130925013448512.jpg

h3_201309250134496f1.jpg



 パターン3:最大値または最小値通る2点が与えられている

これも平方完成した形でおいてやると良いです~
以下の例のように,因数分解を利用すると計算が早く済むことが多々ありますstar06.gif


h4_201309250134491aa.jpg

h5_201309250134503ac.jpg



 パターン4:通る2点が与えられていて,x軸に接する

最大値または最小値が0だという状況なので,
これはパターン3の特別な場合ということが出来ます~
よって,パターン3の手法が使えますsakura.gif


h6_20130925013450d43.jpg
h7_20130925013521d6d.jpg




 パターン5:通る3点が与えられている


複数の対処法があります~curry.gif
定番手法としては, y=ax^2+bx+c とおいて3元連立方程式を解くというものがあります。
やや面倒くさいというのが欠点ですね。

その他にいわゆるラグランジュ補間という作戦なんかが実はあります~

h8_20130925013522888.jpg
h9_20130925013522ab8.jpg

h10_20130925013523949.jpg


y=A(x-α)(x-β)+B(x-β)(x-γ)+C(x-γ)(x-α)
とおく手法は,最初の解法と同様で未知数が A,B,C の3個ありますが,
通る3点のx座標α,β,γを代入すると簡単に未知数の値が求まるお得な方法ですgp11.gif
ただし,未知数が分かった後で式を整理するのがやや面倒だったりはします。

h11_20130925013523786.jpg



今の手法で方程式を解く作業を省いていきなり求める2次関数を与えられるように
改良したのがいわゆるラグランジュ補間の方法です

h12_20130925013524426.jpg



また,与えられた座標が特殊な場合は,更に別の簡単な方法で
答えが求められることがあります~
今の例題では交点のy座標が-6になる点が2つ与えられています。
ここに着目するといくつかの方法が使えます。

例えばグラフの対称性を利用すると未知数2個の方程式を解くだけで求められたりしますinsect_kabuto_m.gif


h13_20130925013557651.jpg

h14_201309250135580ff.jpg


 
更には,次にやるパターン6の発展形として未知数1個の方程式に帰着させることも可能です~kaeru_yodare1.gif


h15_20130925013558d7f.jpg



 パターン6:グラフがx軸と交わる点通る1点が与えられている

x軸との交点2個と通る1点が与えられると,
これはグラフが通る点3個が与えられた状況でもあるのでパターン5の手法が使えます。

しかし,それとは別に未知数1個の方程式を解くだけで答えが出せるようなおき方があります

h16_20130925013559a90.jpg




 パターン7:元の2次関数とそれをどれくらい平行移動したかが与えられている

平行移動の条件を絡めてくる場合もしばしばありますね~
2次関数に限らず y=f(x) のグラフを平行移動したグラフの方程式は
出せるようにしておきましょう~

h17_20130925013600d29.jpg

h18_2013092501360005c.jpg




 パターン8:元の2次関数とそれを平行移動したという条件通る2点が与えられている

y-q=f(x-p) の形を利用して未知数2個の方程式に帰着させます~

h19_20130925013627704.jpg



 パターン9:元の2次関数をx軸やy軸や原点などに関して対称移動させる

平行移動だけでなく対称移動に関してもしっかり理解しておきましょう~kame.gif


h20_2013092501363049e.jpg



 パターン10:頂点x軸から切り取る線分の長さが与えられている

x軸から切り取る線分の長さが与えられたら,
パターン6のような形でおいてやるのが良いです~
頂点が分かってる場合はグラフの対称性に着目すればなお良しです

h21_2013092501363116e.jpg




 パターン11:通る2点x軸から切り取る線分の長さが与えられている

パターン10と同様ですが,頂点が分かっていないと若干面倒です~m_0052.gif


h22_20130925013631d65.jpg
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 パターン12:定数を含んだ形で与えられた2次関数特定の変域における最大値や最小値が与えられている


これは実質,場合分けをしながら最大・最小を論じるタイプの問題です。

h24_20130925013633918.jpg
h25_20130925013643ebe.jpg









とりあえず代表的な出題パターンについてまとめてみましたが,
これら以外の亜種なんかもありますので
くれぐれも油断せずに,状況に応じて上手なアプローチ法を見いだせるように頑張りましょう~~m_0231.gif








   
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コメント

詳しくありがとうございます。

わかりやすいです!

確認に使わせていただきました。
また忘れそうになったらこちらで確認しようと思います!

No title

コメントありがとうございます~~

2次関数の決定問題は,2次関数の表し方をよく理解できているかどうかを試す
基本的なものなので是非攻略してくださいね~v-354
非公開コメント

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