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2013年北海道大学前期入試 理系数学 第1問

2013.09.30 14:24|大学入試問題
どもども。

今回は今年の北大入試の理系数学第1問ですよ~




三角関数のグラフと面積計算に関する問題です~

y=a cos x のグラフと y=b sin x のグラフが
0≦x≦π/2 の範囲で与えられていますよ~heart06(1).gif


i1_201309301346098d3.jpg

2つのグラフは1点で交わっていて,その交点をPとおいています。
このPの座標はよく分かんない値なので,
とりあえずx座標を t とおいておきましょー
という流れになっています。

t を具体的に a や b を使って表示しようと思ったら
高校範囲を超えて逆三角関数なんかを用いなければいけません。
そこで t の具体的な値ではなく,
代わりに cos t と sin t の値を使っていきましょう~
ということで(1)ではそれらを求めます。

求め方は色々あります。
例えば, cos t=(b/a)sin t を cos^2 t+sin^2 t=1 に代入という作戦がありますねbutterfly07.gif
分母に文字を含んだ式が入ることがありますが,今回は分母が0になる心配はありません。

i2_201309301346100de.jpg

tan t=a/b を基点にして cos t と sin t を求める作戦もありますね

i3_20130930134610e60.jpg

はじめから a cos t=b sin t の両辺を2乗してしまう作戦もあります。

i4_20130930134611fc9.jpg
i5_2013093013461289f.jpg


三角関数の合成から攻める手もありますkirin.gif


i14_20130930134710bfc_201402101408047d2.jpg




さて,(2)は下図の青斜線部分の面積 S を求める設問です。
これは簡単な積分計算で速攻で処理できるはずですwaraioni.gif


i6_201309301346122f4.jpg


同様に下図の赤斜線部分の面積 T も容易に計算が可能です。
このとき, T=2S となるための条件は?tankoro.gif
と問われているのが最後の(3)です。
S,T が簡単に計算できる以上,条件式を立てるのは困難ではなさそうです。

i7_20130930134647059.jpg
i8_20130930134648dd7.jpg

これで条件式が得られたので,解答も終了~~
と言いたいところですが,この条件式はもうちょっとスッキリした形に整理することが可能です。
簡単にできるものは簡単にする,というのが自然な取り扱いになるでしょうs2_sum_sunflower.gif

ただし,今出てきたような無理式を含んだ条件式をいじくる時には
十分注意深くならなくてはいけません。
特に両辺を2乗したりするときなんかは特にです。
2b-a=√(a^2+b^2) の右辺は正の値ですので,
左辺の 2b-a も正でなければいけません。
従って,以下の計算では常に「2b-a>0」という条件が付随してきます
式を整理した結果,もしも条件「2b-a>0」に反するものが出現した場合,
不適という処理をされてしまいます。
幸いにも今回はそのような事態には陥りません。

i9_20130930134648f35.jpg


S と T を直接計算して立式しましたが,
他にも手段があります。

例えば,下図の黒斜線部の面積 U を利用する作戦がありますkorobo.gif


i10_20130930134649e18.jpg
  i11_2013093013464921c.jpg
i12_201309301346503aa.jpg
i13_20130930134709a64.jpg



また, a cos x-b sin x を x=0 から x=π/2 まで
積分したものがちょうど S-T に等しい
ことに着目することも出来ますniwatori.gif


i15_20130930134710aa2.jpg





決して手詰まりになるようなタイプの問題ではなかったので,
なんとか最初の大問は無傷で倒したいところですねkiraneko.gif










       
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コメント

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No title

コメントありがとうございます~

記事の中身を色々参考にして頂けているなら幸いです~

ご指摘の通り,該当箇所に書き間違いがありました><
正しくは a(cos t)=b(sin t) を変形するものでしたね!
2箇所の書き間違いを修正しましたので,これで正しくなっているはずです~

こーーーいうしょぼいミスとかがきっと他にもいろんな記事に
埋もれていると思うので,もし見付けましたら
遠慮なくじゃんじゃんご指摘頂けれるとありがたいです♪

また,こんな解法もありましたよ~なんて報告でも嬉しいですよ~

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No title

コメントありがとうございます~

ご指摘の件ですが,今回に関しては特に誤りではありません~

三角関数の合成に関しては,教科書や参考書をみると
a(sin x)+b(cos x)=√(a^2+b^2)sin(x+θ)
ただし, sinθ=b/√(a^2+b^2), cosθ=a/√(a^2+b^2)

という形で載っているものが多いので,ついつい合成後の形は
√(a^2+b^2)sin(x+θ) じゃなきゃいけないんだーって受け取ってしまいがちです~

しかし,実は a(sin x)+b(cos x)=√(a^2+b^2)cos(x+θ)
ただし, sinθ=-a/√(a^2+b^2), cosθ=b/√(a^2+b^2)

という形に合成することも出来るんですよ~
どちらのタイプもよく使うのですが,なぜか教科書・参考書では前者のパターンばかりが
取り挙げられがちです~~

そもそも「三角関数の合成!!」などというカッコイイ名前がついてはいますが
その実態はただの加法定理だったりします。
sin の加法定理から作られたのが前者のタイプの公式,
cos の加法定理から作られたのが後者のタイプの公式なんです~

今回の解法では cos タイプの変形をしているので上記の記述通りで問題はありません。
実際,正しい答えが出てくれていますね~

sin タイプの合成でやってみると,
a(cos t)-b(sin t)=√(a^2+b^2)sin(t-θ)=0
ただし, sinθ=a/√(a^2+b^2), cosθ=b/√(a^2+b^2)
が成り立ちます。 sin(t+θ) ではなく sin(t-θ) の形で合成してるので注意です。
このとき,やはり 0<θ<π/2 となるので, 0<t<π/2 より
t-θ=0 すなわち t=θ が得られます。
したがって, sin t=sinθ=a/√(a^2+b^2), cos t=cosθ=b/√(a^2+b^2)
という他の解答と同様の結果が出てきました~


三角関数の単元で出てくる様々な公式(2倍角・3倍角・半角・和積・積和・合成など)は
基本的に加法定理さえ知ってればそこを基点として全部すぐに導けるものばかりです。
公式だけを覚えるのではなくて,そのカラクリまで知っておくとより理解が深まるのではないでしょうか~


本当に誤植である例がまだまだたくさんあると思うので(←あまり熱心に校正してないんで(;・ェ・))
お気軽にご指摘くださいませ~♪

No title

おおっ!
そういうことだったんですね!

教科書中心にやっていたのですが、さら~っと流してしまっていましたv-356
1つ勉強になりました♪
記述を読むだけじゃなく、やっぱり数式と遊ばないとダメですね

ありがとうございました!

やはり cos 型の合成のことをまだよく知らなかったみたいですね♪
教科書中心に勉強していたということですが,それはそれでとても大事だと思いますよ~

「教科書の内容をしっかり理解する」という原点を疎かにしてしまうと痛い目に遭う
というタイプの問題がセンター試験なんかには割とよくあります~

定理や公式などの「結果」だけではなく,その「原理・理屈・理由」の部分も
大事にして勉強してみてください♪
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