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2013年北海道大学前期入試 理系数学 第2問

2013.10.04 23:56|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期北大入試理系数学の第2問です~




1次変換の問題です~
消えゆく運命にある行列の問題は今とても多いですね~


原点を通る直線に関する対称移動や,原点を中心とする回転移動と
それらの合成に関する問題になっています。

これらの変換を表す行列を記述することが出来るか,
というのが前半の主題になってきます。

後半は直線に関する対称移動を2回施して,
与えられた回転移動にするということがテーマです。

後半に確認してみますが,実は直線に関する対称移動を2回施すと
それは回転移動と同等になるんです。
面白いですよねjyugon.gif

また,ある直線に関する対称移動と回転移動を組み合わせることで
別の直線に関する対称移動を作ることも出来てしまいます。

そういった事を色々予備知識として持っていると
このような問題にもスムーズに取り組めるのではないでしょうか。



では具体的に設問を見ていきましょう~~

直線 y=x に関する対称移動を f とします。

j1_20131004214106f04.jpg

これは点 (x,y) を (y,x) に移す変換で頻出ですhiyoko(1).gif


次に 直線 y=cx に関する対称移動を g とします。

j2_20131004214106860.jpg

そして,原点を中心として120°回転する回転移動を h とします。

j3_20131004214107bc7.jpg

(1)は f と h を表す行列を求める問題です
それぞれ F と H とおくことにします。
x=1・x+0・y, y=0・x+1・y
であることに着目すればすぐに F は求められそうです。
H に関してはもはや公式のような扱いで答えを書いても良いかと思います。

j5_2013100421410859c.jpg
j6_20131004214108746.jpg



(2)は g を表す行列 G を求める問題です。
P(x,y) のとき, g(P)=P´ の座標が分かれば,
そこから G を求めることが出来ます。

直線に関する対称点の座標を出すという問題は超頻出ですよねhunayurei.gif
やり方は複数あると思います。

 やり方1:直線PP´のベクトル方程式に着目する

直線 y=cx の方向ベクトル (→d)=(1,c) が分かっているので
その法線ベクトル (→n)=(-c,1) がすぐ得られます。
これにより線分PP´の中点をMとすると,
直線PP´のベクトル方程式を使って
(→OM)=(→OP)+k(→n) の形で書けます
Mが y=cx 上の点であることから k の値を求めると
P´の座標は (→OP´)=(→OP)+2k(→n)
から求められます~kaeru_yodare1.gif


j4_20131004214107475.jpg


j7_20131004214133732.jpg

  j8_20131004214133ef9.jpg



 やり方2:直線PP´と y=cx が垂直であることとPP´の中点Mが y=cx 上にあることから連立方程式を立てる

ベクトルを用いずに解くときの定番手法です~
P´(X´,Y´)とおいて,X´,Y´に関する連立方程式を立てて解くという発想です。
2本の式は,直線PP´と y=cx が垂直であることと,
PP´の中点Mが y=cx 上にあることの2つから得ることが出来ます~

j9_201310042141340a8.jpg


中学校で習ったようなシンプルな方法で連立方程式を解いてもいいですが,
最終的な答えである行列 G を求める近道にもなるので
ここでは行列を使って解いてみますdog_happy.gif



j10.jpg

j11.jpg



 やり方3:平面上の任意の点が (→d)=(1,c) と (→n)=(-c,1) の線形結合で書けることに着目する

やり方1で出てきた方向ベクトル (→d)=(1,c) と
法線ベクトル (→n)=(-c,1) は1次独立なので,
この2つのベクトルを使って平面上の任意のベクトルが
α(→d)+β(→n) の形で表すことが出来ます


特に, (→OP)=α(→d)+β(→n) とおいたとき,
(→OP´)=α(→d)-β(→n)
 と書けます~curry.gif


j12.jpg



 やり方4:回転移動と対称移動の合成で目的の対称移動を作ってみる


冒頭に述べたようなことに関連するやり方です~
x軸に関する対称移動,y軸に関する対称移動,直線 y=x に関する対称移動
などは簡単に変換後の点の座標が分かります。
これらの対称移動と,原点中心の回転移動を組み合わせて
目標である y=cx に関する対称移動を構成してみましょう~

c=tanθ (-90°<θ<90°) とします。
g(P)=P´ として,このP´を得るために
いくつかの段階を踏んでみることにします。

まずは原点を中心とする回転角 -θ の回転移動を考えます。
この変換によりPが点Qに写されるとします。
一方で,直線 y=cx はx軸に写されるので,
Qをx軸に関して対称移動させた点をQ´とすると,
このQ´を回転角 θ の回転移動で変換してやると
ちょうど求めたかったP´になるぞという発想です~


j13_20131004224734f8f.jpg


j14.jpg
j15.jpg





さて,そろそろ(3)に進みましょう~

(3)は f と g の合成が h になるように定数 c を定める設問です。
これは(1)(2)で求めた行列 F,G,H の間に FG=H が成り立つように
c を定める問題に置き換えることが出来ますbody_stretch.gif


j16.jpg

 と  を両方満たすものが求める c ですよ~

j17.jpg



行列の話に置き換えなければ,実際に変換後の座標を求めて
係数比較を行うと良いです~

j18.jpg




さて, f と g は共に直線に関する対称移動でした。
直線に関する対称移動を2回繰り返すと回転移動になることを
最後に確かめて終わりにしましょう~s2_sum_bbq.gif



直線 y=ax に関する対称移動 f_1,
直線 y=bx に関する対称移動 f_2 の合成を考えてみます。
2つの変換に対応する行列は(2)の結果を利用して
すぐに与えることが出来ます。

ところで,(2)の答えになっている行列 G の成分を見て
何かしらの既視感がした人も多いと思います。

j21.jpg

このような変換をよく使いますよね
置換積分の場面だったり,三角関数の計算の場面だったり,
しばしば用いられる変換ですが,これを t=c とおいたものが出てきています。

そこで,逆に G の成分を三角関数を用いて書き直すことが出来ます。
そうするとその後の計算がなんとなく楽です~hanaji02.gif


j19.jpg
j20.jpg



確かに回転行列になりました~~

(2)のやり方4の過程を見るに, 
-180°<θ<180°, -180°<φ<180° として
a=tan(θ/2), b=tan(φ/2) の関係が成り立つことが分かります。

今回の問題では a=1 なので, θ=90° になります。
θ-φ=120° となればいいので, φ=-30° 
であればよいはずです。

よって c=tan(-30°/2)=tan(-15°)=-2+√3
が確かに得られます~eto_hitsuji.gif









             
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

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