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2013年北海道大学前期入試 理系数学 第3問その1

2013.10.06 00:00|大学入試問題
どもども。


今回は今年の前期北大入試理系数学の第3問です~



複素数の変換を題材にした領域の問題です~yotuba08.gif


複素数 w を変数として, z=(w-1)/(w+1)
という変換を考えます。
1次分数変換と呼ばれるタイプの変換です。

w=s+ti (s,tは実数) とおいたとき,
s,tの動く範囲は 0≦s≦1,0≦t≦1 だそうです。
つまり,st平面上では(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)
を頂点とする正方形の周及び内部が(s,t)の範囲です

z=x+yi (x,yは実数) とおいて,
(x,y)の存在範囲を求めさせるのが(2)で,
その領域を D とおいて, (x,y)∈D のときの
-5x+y の最小値を求めさせるのが(3)です~



まずは(1)をみてみましょう~
w について解くことによって s,t を x,y の式で表す設問です。

「w= 」 の形に直すのは決して難しくはないはずです。
w について解いたら z を x+yi で置き換えて整理すればOKです~akaname_20120809135852.gif


k1_20131005151527c42.jpg


k2_20131005151530b4a.jpg


「w= 」の形に解くということは 「z= 」の変換の逆変換を考えています。
逆変換が存在するということは, w と z の値は1対1に対応するということです。
(2)で考える w の存在範囲である正方形が 「z= 」の変換によって
どのような領域に写るのかを直接考えるのはちょっと大変です(次回やってみます)~dog_shy.gif

そこで,逆転の発想を使って, xy平面上の点 (x,y) の逆像を考え,
これが元の正方形領域に含まれるための条件を求めるという発想を使います

その条件とは, s=(1-x^2-y^2)/{(x-1)^2+y^2},
t=2y/{(x-1)^2+y^2} であることから,

不等式
0≦(1-x^2-y^2)/{(x-1)^2+y^2}≦1,
0≦2y/{(x-1)^2+y^2}≦1


を同時に満たす (x,y) ということになります

k3_20131005151530f96.jpg
k4_2013100515153197f.jpg



(x,y) の存在領域 D がわかったので,
この領域上における -5x+y の最小値を求めれば(3)も終了ですね~

-5x+y=k とおくと, k の最小値を求めればよいわけです。
直線 y=5x+k_0 上の点 (p,q) が D 上の点でもあるとき,
-5p+q=k_0 が成り立つので, k_0 は k の取り得る値の範囲に含まれています。

そこで,直線 y=5x+k が領域 D と共有点を持つような k の中で
最小のものを探せば良い,というのが定番のアプローチですね~eto_tora.gif


k は直線 y=5x+k の y 切片なので,
D と共有点を持つような傾き5の直線の中で最も y 切片が小さくなるものを探せばよいです~
D の形状が分かっているので,そのような k の候補を絞るのは容易です。
これが領域を使ったアプローチの決定的に有利な点ですね

関数の大小関係が計算なしで図形的な考察からわかってしまうのが有利の理由の1つです~
図形的な考察を排除して,純粋に(2)で与えた①,②,③,④の不等式を
同時に満たす (x,y) の中で -5x+y=k の最小値を考えようと思ったら
案外大変です(これも次回やってみます~)。

今回だと, y=5x+k が点 A(1/5,2/5) を通る時が y 切片が最小になります。


k5_20131005151532de1.jpg




次回は,既に述べたように,
この問題をもう少し面倒なアプローチを使って解いてみたいと思います~kuma_fly.gif






   
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