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2013年北海道大学前期入試 理系数学 第3問その2

2013.10.14 11:42|大学入試問題
どもども。

今回は前回の続きです~



前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-134.html


複素数の変換に関する領域の問題でした~

オーソドックスな解法については前回やってみました通りで御座います~

今回は久々にちょっと面倒なやり方を敢えてやってみる~
ていう流れで行きましょう~dog_smile.gif





まずは(2)についてです~
設問としては, 0≦s≦1,0≦t≦1 の条件から変換後の 
z=x+yi における (x,y) の存在領域を求めるものでした。

w=s+ti の存在範囲が,複素数平面でいうところの
原点を通る1つの正方形領域 D なのですが,
これが変換後にどのような領域に移るかを求める問題とも言えます

そのまんまで考えるとなかなか大変なので,逆変換を考え,
どのような点なら逆変換後の点が元の正方形に入っているかを
考えたというのが前回のやり方です~

今回は,素直に正方形領域 D がどのような領域に移るかを考えてみます

与えられた変換は z=f(w)=1-2/(w+1) と変形できます。
これを幾つかのもっとシンプルな変換の合成とみなしましょう。
f_1(w)=w+1, f_2(w)=1/w, f_3(w)=-2w
とおいてみますよ~

このとき,与えられた変換 f(w) は,
f=f_1○f_3○f_2○f_1 (○は写像の合成の記号と思ってけれ><)
と表すことが出来ますdolphin.gif

m1_20131014020520364.jpg



これらのシンプルな写像による領域の移り先を次々考えていきたいと思います。
D_1=f_1(D), D_2=f_2(D_1), D_3=f_3(D_2), D_4=f_1(D_3)
とおきましょう~
複素数平面上の領域 D_4 を対応する xy 平面上の領域に置き換えたものが
(2)の答えになりますよ~

D_1 は元の正方形領域 D を横に 1 だけずらしてやるだけで求まりますねeto_ne.gif


m2_20131014020521e56.jpg


次が一番厄介なところです。
D_1 を f_2(w)=1/w で移したらどうなるかを考えていきます。
この変換自体は極形式を使って考えていったほうが見通しがよさそうなので,
その作戦で行きましょう~
ただ, D_1 は正方形なので,極形式ではちょっと扱いづらいです。
w∈D_1 であるような w=r(cosθ+i sinθ) に関しては,
1≦r≦√5 が成り立つことにまず注意です
r=1 となるのは w=1 のときのみで,
r=√5 となるのは w=2+i のときのみです。

m3_20131014020521581.jpg


 
r の値を固定してみたとき, θ の動ける範囲は
(ア) 1≦r≦√2  (イ) √2≦r≦2  (ウ) 2≦r≦√5
の3パターンでそれぞれ様相が異なります。
そこで,この3パターンを別個に扱ってみますよ~eto_ushi.gif



まずは(ア)の場合について考えてみましょう~

m7a.jpg


このときは, θ の動ける範囲は 0≦θ≦Arccos(1/r) です。
角度の上限は,斜辺 r ,θ を挟む斜辺じゃない方の辺が 1 であるような
直角三角形を考えることで得られますeto_uma.gif

θ=Arccos(1/r) であるとき, cosθ=1/r,sinθ=√(1-1/r^2) なので,
f_2(w)=x+yi=(1/r^2)+i{(-1/r)√(1-1/r^2)}
です。 r を消去して, x と y の間の関係式を求めると
(x-1/2)^2+y^2=1/4 が得られます。

このことから, r を固定して,θだけが動いたときの,すなわち
D_1∩{|w|=r} の f_2 による像が円弧になることが分かります

m4_20131014020522f89.jpg


この状態で r が 1 から √2 まで動いたら,
f_2 による像の全体は下図の斜線部のような領域になるはずです~hiyo_cry1.gif


m5_20131014020522e3d.jpg



これと同様の流れで(イ)(ウ)のパターンについても考えてみますね。
次は(イ)ですよー。
今度は θ の動ける範囲が 0≦θ≦Arcsin(1/r) になってしまいます

m6_20131014020523c8d.jpg


θ=Arcsin(1/r) のとき (x,y) は円 x^2+(y+1/2)^2=1/4 上にあり,
D_1∩{|w|=r} の f_2 による像である円弧と
更にそれを r を √2 から 2 まで動かした時の像の全体は以下のようになっています。

m7b.jpg


最後は(ウ)のパターンです~
ここでは Arccos(2/r)≦θ≦Arcsin(1/r) が θ の範囲です~
D_1∩{|w|=r} の f_2 による像である円弧と
更にそれを r を 2 から √5 まで動かした時の像の全体は以下のようになっていますhunayurei.gif



m8_20131014030624972.jpg



(ア)(イ)(ウ)から得られた3つの領域を合併したものが
D_2 になっています~hiyos.gif


m9_201310140205524e9.jpg



これを f_3(w)=-2w で移すと得られる D_3 は
D_2 を原点に関して対称移動して,原点に関して2倍に拡大したものなので,
以下のようになっています。

m10_201310140205525fc.jpg


これを横に 1 だけずらしてやれば, D_4 が得られますね

m11_201310140205535fa.jpg




これは前回得られた結果と一致しています~hiyob_hat.gif
ただ,労力の差は一目瞭然です~~~










次は(3)を考えてみましょう~~
(2)で求めた領域と共有点を持つような直線 y=5x+k を考える
というのが通常の発想で前回やりました。

幾何的なアプローチを抜きに考えてみたらどれくらい大変かを
ここでは検証してみましょう~kaeru_en4.gif

与えられた条件は
x^2+y^2≦1 …①, (x-1/2)^2+y^2≧1/4 …②
y≧0 …③, (x-1)^2+(y-1)^2≧1 …④

です。

これらを同時に満たす (x,y) に対して k=-5x+y の最小値を
求めなければいけません。
とりあえず①を見る限り,少なくとも x は -1≦x≦1 の範囲に
制限されることは分かりますね。
x の値を x=m で固定してみます。
このときの y の取り得る値の範囲を考えていきたいと思います。
つまり, ①~④を満たす (m,y) の全体を考えるってことですね。
その範囲での k の最小値を仮に Y(m) とおくことにすれば,
m が -1 から 1 まで動くときの Y(m) の最小値を考えればよいわけです~m_0054.gif


途中,無理式が出てきて色々ややこしいので,
一旦, x=m のときの①~③を同時に満たす y の範囲から考えてみましょう~

m12_2013101402055464e.jpg

m15_20131014020623bc0.jpg


領域で考えれば,円の内側とか外側とか,
非情に明瞭な形で (x,y) の範囲がわかるのに式だけで処理しようとすると
①~③の共通部分を探るだけでも手間がかかりますね。
特に無理式は,定義域に制限がある上に,大小関係を探るのが面倒という
扱いづらさを持っています

「領域で考えちゃえば楽なのに…
これは領域の問題に限ったことではありません。
今回は領域の問題だったので,領域を使うという発想がスタンダードでしたが
はじめから「無理式を含んだ不等式を解く」という問題が与えられていたときは
ついつい式だけで処理しようという発想が先行してしまいますが,
図形的な処理に置き換えちゃうと実は面倒な計算が不要である可能性が
多大にあるということは覚えておいてもいいかもしれません


さて, x=m のときの①~③を同時に満たす y の範囲が分かりました。
既に3パターンに場合分けされています。

これと更に④との共通部分を求めていきましょう~~

m13_201310140206228e9.jpg

④は 0<m<2 のときは 
y≦1-√(-m^2+2m),1+√(-m^2+2m)≦y
という範囲になります。また厄介な無理式が出てくるわけです。
再び無理式同士の大小関係をチマチマと検証していかなければいけませんm_0052.gif




m14_20131014020622253.jpg

m16_201310140206238db.jpg

m17_2013101402062457c.jpg



幾つかの面倒な計算を経て,ようやく①~④を同時に満たす y の範囲が明らかになりました。

あとは -1≦m≦0 と 0<m≦1/5 の場合に分けて
k=-5m+y の最小値を考えていきましょう~m_0056.gif

特に後者の方ですが,ここからまた面倒な計算があります~

m18_20131014020625119.jpg

ちなみに 1/2-5/√104≒0.0097097 で,
すごく 0 に近い値でした

m19_201310140206331ad.jpg



ようやく最終的な答えに辿り着きました~~
苦労しましたね~

いかに領域を用いたアプローチが優秀かが分かったかと思います。

それでは今回はここまでです~~m_0216.gif









            
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