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2013年北海道大学前期入試 理系数学 第4問

2013.10.19 02:06|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期北大入試の理系数学第4問です~~




確率の問題です~~
サイコロを2個投げた時の出目の積を考えるという定番の設定です~onpu07.gif

座標平面上の動点 P の行き先が
出目の積 X を 4 で割った時の余りによって決められるという問題ですよ~

X を 4 で割った時の余りが 0 のときは x 方向に -1,
X を 4 で割った時の余りが 1 のときは y 方向に -1,
X を 4 で割った時の余りが 2 のときは x 方向に +1,
X を 4 で割った時の余りが 3 のときは y 方向に +1


だけ P が移動するようです~
ちなみに P の初期位置は原点です~

「サイコロ2個を投げて出目の積に応じて動点 P を移動させる」というのが
1つの操作だと思って,この操作を何度か繰り返していきます。



(1)はこの操作を1回だけ行います。
このとき動点 P が (-1,0) に移動する確率を求める設問ですkoinoburi10.gif

はじめ P は原点にあるので, x 方向に -1 だけ移動しています。
これはつまり出目の積 X が 4 の倍数であるということですね。

出目の積として現れる 4 の倍数は最小のもので 4,最大のものは 36 です。
しかし, 4 以上 36 以下の全ての 4 の倍数が出現するわけではありません。
例えば 28 は出現しませんね。
また,出現する 4 の倍数についても,出現する割合はバラバラです。
4 は2つの出目の組として (1,4),(2,2),(4,1) の3パターンがありますが
36 は (6,6) の1パターンです。
これはこのくらい出てくる,あれは出てこない,とかいちいち考えながら進めるのは
面倒ですね。そこで,あらかじめ表にして整理してしまいましょう~
さいころを2個投げる問題ではよくやる手ですね。

n1_20131018233816f6c.jpg


(1)については上の表の中で余りが 0 のものの数を数えればいいわけですね!
ズバリ 15 個です


n2_2013101823381759e.jpg



(2)では動点 P の移動操作を 3 回行います。
そして点 P の座標が (2,1) になる確率を求める問題です~

x 軸方向に +1, -1 の移動を →, ← で表すことにし,
y 軸方向に +1, -1 の移動を ↑, ↓ で表すことにしましょう~

今回は 「↑→→」「→↑→」「→→↑」 の3パターンが有りますねtentou02.gif
この3パターンはどれも確率は同じです。
出目の積を 4 で割ったときの余りが 2 になることが 2回,
3 になることが 1回です~

それぞれの確率は(1)と同様に表を使って場合の数を求めて計算できます~


n3_2013101823381712a.jpg



(3) では動点 P の移動が 4 回です~~
そして P の座標が (1,1) になる確率を求める設問ですよ~

「→ 2回」+「← 1回」+「↑ 1回」 の組み合わせか
「→ 1回」+「↑ 2回」+「↓ 1回」 の組み合わせかのどちらかであれば良いです~

この2パターンに限られることは,以下に述べるように
連立方程式 -p+r=1, -q+s=1, p+q+r+s=4
の非負整数解 (p,q,r,s) が (0,1,1,2) と (1,0,2,1)
の 2 個であることから従います~nezumi02.gif


n4_20131018233818cde.jpg

  n5_201310182338184bb.jpg

それぞれの場合の確率を求めて足せば答えが得られます~
以下の式に登場している 4!/2! は ←,→,→,↑ の順列の数です。

n6_2013101823381981f.jpg








やや面倒臭くはなりますが,(2)の結果を利用できる別解を考えてみましょう~

4 回の移動後に (1,1) に到達するということは,
3 回目の移動が終わった時点で (1,0),(0,1),(2,1),(1,2)
のいずれかに居ないといけません。
「3回目で (1,0) かつ 4回目で (1,1)」の確率,
「3回目で (0,1) かつ 4回目で (1,1)」の確率,
「3回目で (2,1) かつ 4回目で (1,1)」の確率,
「3回目で (1,2) かつ 4回目で (1,1)」の確率,

これらの和を求めるという方針ですkujira.gif

3回目で (2,1) に到達する確率については(2)で既に求めています。


n7_20131018233857cd8.jpg



(ア)について考えてみます~
3回目の居場所を4ヶ所に絞ったのと同じように考えてみることにします。
3 回目の移動後に (1,0) に居るためには
2 回目の移動後に (0,0),(1,1),(2,0),(1,-1)
のいずれかに居なければなりません。それぞれの確率を求めてそれを利用してみます

n8_20131018233857a4f.jpg
n9_20131018233858351.jpg


(イ)の場合も同様にやってみます~mushi.gif


n10_20131018233859b04.jpg



(ウ)については(2)で求めた通り確率は 1/27 です~

一応,(ア)(イ)と同様のやり方でもやってみましょう~
(2)の別解として捉えることも出来ますね。

n11_2013101823385950c.jpg


あとは(エ)の確率を求めて,
最後に答えの確率を計算すればおしまいです~~


n12_2013101823390054e.jpg


分母の数字が結構大きくなるので計算が大変ですね。
←↑→↓どの確率も値がバラバラなのも計算が面倒になってる一因です。

効率のよい解法を選ばないと労力が倍以上になったりするぞ!という点が
この問題でも言えるようです~inu.gif














     
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

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