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2013年北海道大学前期入試 理系数学 第5問

2013.10.21 00:00|大学入試問題
どもども。

今回は今年の前期北大入試理系数学第5問です~~



積分方程式の問題です~~
微積分が苦手な人だと,解法パターンがもう全く分からなくて
手も足も出ない感じだったりすることも多いかもしれないですね~~

この手の問題において,重要な役割を果たすのが次の公式です~


o1_20131020103931044.jpg


パッと見の第一印象が,なんだかよく分からないもの,
何を表してるんだかよく分からない宇宙語みたいなもの,
のような公式ではありますが,落ち着いて何を表しているのかを
考察してみると,実はそんなに難しい話ではなく,
積分したものを微分したら元に戻るという内容なのですwink02.gif

微分と積分は逆演算,のようなイメージを持ってる人が多いと思いますが,
そのイメージを1つの式で表しているような式ですね。

今回の問題でもこの公式が活躍します。
ただし,使用する上で注意しなければいけない点も生じますので
油断はしないようにして下さい~eto_u.gif


上の公式について,上限が x ではなくてより一般の a(x) の形になっているときは
左辺の微分が,いわゆる合成関数の微分になるので,
a´(x) を掛けなければいけなくなりますよ~eto_tora.gif
(元の左辺は (d/dx) g(x) の形をしていますが, (d/dx) g(a(x)) になっているということです~)

また上の公式において,左辺の定積分の部分の被積分関数が, 
x を含んでいる場合も注意が要ります。
つまり左辺の被積分関数が f(t) ではなくて 2 変数関数 f(x,t) の形を
している場合です。この場合右辺が f(x,x) になるかといえば
そんなことはありません。
上手に式変形をして x を積分の外に出して被積分関数が x を含まない形に
直してから公式を適用
しなければいけません~~kaeru_en4.gif
積分に関してはあくまで t が変数で x は定数扱いになることに注意です。
具体的にどうやるかは,この後の問題を解く流れで確認してみて下さい。


さーーて,では実際に問題にトライしてみまーーす。
まず与えられた積分方程式を見てみましょう~
なんだか難しそうですね~~
上の公式を使う上で注意したい点が最初に与えられた式から既に見て取れます。
第一に,定積分の上限が x ではなくて 2x になっていること。
第二に,被積分関数が x を含んでしまっていること。

(1)は F(x/2) の式変形をする問題です
F(x) ではなくて F(x/2) に着目させた理由の1つは
きっと定積分の上限を x に変えて扱いやすくしてしまおうということかもしれません。
また,被積分関数 t f(2x-t) を (x-s)f(s) に変えてやりますが
これは x を 積分の外に出すのを容易にすることが目的です。

式変形の意図はそんなとこで,では実際にどのように式変形するかといえば
これは置換積分で一発です~~ladybug.gif


o2_2013102010393274b.jpg


(2)は F´´(x) を f で表すという問題です~
F(x) を微分していかないといけないわけですね。
いよいよ冒頭の公式の出番です。ただし,既に述べた注意点があるので気をつけて下さい
せっかく(1)で F(x/2) について考えたので,
(1)の等式を起点に考えていくことにしましょう。
これで第一の注意点については問題ありません。
ただ,代わりに F(x/2) を微分すると (1/2)F´(x/2) になるのでそれは注意ですよ。

被積分関数が x を含んでいるので,下の①式のように
x を積分の外に出してしまいます。
こうすることで第 1 項と第 2 項でそれぞれ公式が適用できます。
第 1 項の積分は「積の微分」の計算ですよ~m_0003.gif


o3_20131020103933c86.jpg
  o4_20131020103933b26.jpg


この(2)は,部分積分を利用した解法もあります。
(x-s)f(s) について f(s) に掛けられているのが 1 次式
なので, 部分積分で x-s の部分を無くすことが出来ますね

o5_20131020103933412.jpg




さて,最後の(3)です。
F(x) が 3 次式である,f(1)=F(1)=1 である,
この条件のもとで f(x) と F(x) を求める設問ですよ~~

f(x) ではなくて F(x) のほうが 3 次式なので見間違えないようにして下さい~
自分は最初見間違えてしまったので,計算が大変になりました~
「ん~~条件が足りなくて答えが出ないぞ~~」てとこで気づきました

(2)の等式を見ると, F(x) を 2 回微分すると f(x) と同じ次数になる
ことが分かるので, f(x) は 1 次式ですnezumi.gif

F(x)=ax^3+bx^2+cx+d とおいて係数を求めていくか,
あるいは f(x)=px+q とおいて係数を求めるか,
どちらかで攻めるといいと思います。

a,b,c,d を求めるには 4 本の条件式が必要です。
f(1)=F(1)=1 の 2 本の他に得られる条件式は
F(0)=F´(0)=0 です。
0 から 0 までの定積分は 0 ですよね


o6_2013102010393482f.jpg



f(x)=px+q とおいてやる場合はこんな感じで~

o7_201310201039558ad.jpg

f(x) が1次式という簡単な形なので,(2)の結果を使わず
直接 F(x) を計算し直してみてもさほど苦労はしません~ny_hagoita.gif


o8_20131020103955521.jpg









最後に,今回の積分方程式ですが,
右辺の積分は畳み込み積と言われるような形をしています
畳み込みとは,以下で定義されるもので,様々な応用があります。

o9_20131020103956d8c.jpg

上式で, g(x)=x であるバージョンが今回のものですね。
右辺は (f*g)(2x) の形をしています。
 

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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

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