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2013年センター試験数学ⅡB 第1問 その1

2013.11.04 19:45|大学入試問題
どもども。


そういえば今年のセンター試験はまだⅠAしか取り扱っていなかったので
そろそろ来年の試験も近付いてきたということで今回は今年のセンターⅡBをやりますよ~

まずは第1問の前半,図形と方程式の問題です~

問題はこちらなどから~算数mini
http://school.js88.com/sd_article/dai/dai_center_data/pdf/2013sugaku2B_q.pdf

内分,外分,円の方程式など,
基本的な内容を問うている問題で,決して難解ではないので
なんとか点数を落としたくないところです


A(6,0) と B(3,3) が与えられています。
まずは線分ABを 2:1 に内分する点Pと, 1:2 に外分する点Qの座標を求める設問です。

内分点と外分点を求める公式をしっかり覚えていれば怖くはないです~tawa02.gif



p1_201311041850051f5.jpg



内分はともかく,外分になると頭が混乱するという人は多分結構いるんじゃないでしょうかkero.gif
図を描いて考えると,内分の話に置き換えることができますよ~
今の場合では,点Aが線分BQを 1:1 に内分する点,すなわち線分BQの中点になることが
分かるので,このことに着目すれば外分の公式を用いることなくQの座標が求められます

p2_20131104185005ce4.jpg


また,内分点・外分点の公式を使わずに,
中学校でやった平行線と線分の比の関係を使って座標を求めることもできます。
具体的にはP,Bから x 軸へ垂線 BH_1 , BH_2 を下して △ABH_2 に着目すると良いです~koinoburi10.gif
Qの方も同様です~

p3_201311041850060af.jpg



さて,次は 3 点O,P,Qを通る円の方程式を出したいということらしいです。
3 点の座標が指定されれば,それらを通る円は1つに決まります。
円の方程式を x^2+y^2+αx+βy+γ=0 とおいて 3 点の座標を
それぞれ代入して連立方程式を解く,という解法を使うことが多いかと思いますが,
円の図形的性質を利用して解くやり方も存在しますrokuro.gif
そして今回の問題ではまさにそっちの方針で円の方程式を求めさせようとしています。
正しく誘導に乗ることが出来るかどうかが試されます。

中学校で習った円の性質として,円の中心から弦に垂線を下すとその弦を 2 等分する
というものがあります。
言い方を換えると,円の中心は円の弦の垂直二等分線上にあるということです~ risu.gif

今の場合では円Cの中心は,弦OPの垂直二等分線上にあることが分かります。
同様に弦PQの垂直二等分線上にあることも分かります。
従って円の中心はこの 2 つの垂直二等分線の交点として求められるのです~
なお,三角形の 3 辺の垂直二等分線は 1 点で交わって,
それがおなじみの三角形の外心と呼ばれるものでした。

高校入試でよく出てくる作図の問題でもこの性質を利用したものがよくありますね。
円の一部が描いてあって,その円の中心を求めさせるとか,円の残りの部分を描かせるとか
いうタイプの問題です。弦を 2 本引いてその垂直二等分線の交点から中心を求めるわけです。

この円の性質をド忘れしていたとしても,
問題文中に,OPの垂直二等分線とPQの垂直二等分線の交点が中心になるので~~的なことが
親切にも記載されているので,仮に出題の意図がよく読み取れなかったとしても
おとなしく指示に従っていれば中心座標を求めることは出来てしまいます。


というわけで, 2 つの垂直二等分線の方程式を出す設問がまずあります。
OPの中点をM,PQの中点をN,円の中心をSとします。
直線OPと直線MSは垂直なのでその傾きの積は -1 ですね。
それを利用してMSの傾きを求めることができて(ちなみに傾きは -2),
点Mを通る傾き -2 の直線を求めればMSの方程式が得られます s2_sum_bbq.gif
NSの方も同様ですね~

p4_20131104185007cff.jpg

   p5_201311041850089ca.jpg



2本の垂直二等分線の方程式が求まったので,
その交点を計算すれば中心Sの座標も分かりますねーー

さて,設問としては円Cの方程式を聞いています。
たとえ中心は分かっても,半径が分からないと円の方程式には到達できません。
半径はOS,PS,QSのいずれかの長さを求めればよいですね。
OSを求めるのが一番計算が早そうです s2_sum_suika.gif



p6_201311041850080b7.jpg


ちなみに,このような誘導の流れに乗れなかったとしても,
シンプルに円Cの方程式を x^2+y^2+αx+βy+γ=0 とおいて求める
やり方でも,これといって苦もなく求められるので大丈夫です~ s2_sum_sunflower.gif


p7_201311041850298c9.jpg



最後は,円Cと x 軸の交点のうち,原点じゃない方をRとして
Rが線分OAをどんな比に外分するかを求める設問です。
Rの座標が知りたいですが,その求め方は色々あると思います。

面倒な計算なしで求めるには,線分ORが円Cの弦であることに着目するといいでしょう~
中心Sから x 軸へ垂線SDを下すと,Dの座標は (4,0)ですよね。
OD=DR=4 なので, R(8,0) であることがわかります~ s3_aut_momiji.gif


p8_20131104185030de0.jpg


円Cの方程式を利用して解くことも出来ます。
y=0 として x の 2 次方程式を解けばいいですよね。
これも大した計算量ではありません。

p9_20131104185031203.jpg


ちょいとややこしい求め方となると,
たとえば方べきの定理を使って OA×AR=PA×AQ に着目するなんていう手もあります。


p10_201311041936460fa.jpg





それではこの問題についてはここまでにして,
次回は第1問の後半,指数対数の計算の問題です~~kaeru13.gif








    
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