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2013年センター試験数学ⅡB 第1問 その2

2013.11.05 17:57|大学入試問題
どもども。


今回は前回の続きで今年のセンター試験数学ⅡBの第1問後半です~

問題はこの辺りなどから~箱ドットおにおん2mini
http://school.js88.com/sd_article/dai/dai_center_data/pdf/2013sugaku2B_q.pdf


指数・対数の計算と3次方程式の複合問題になっています~

x,y,z に関する連立方程式が与えられているのですが,
2^x,2^y,2^z の和や 2^(-x),2^(-y),2^(-z) の和が
与えられているタイプなので,
割と見慣れている形の3元連立方程式の形
(つまり Ax+By+Cz=D 型の式が3本あるやつ)とは異なっているため,
すごく難しそうに見えてしまいますね

試験場でいきなりこんなの出されたら
こんな方程式の解き方なんて知らないよう~~kero.gif
と動揺してしまうかもしれませんが,
素直に問題文の誘導に正しく乗って解き進めれば,
案外なんとかなりそうです。

特に,3次方程式の解と係数の関係について上手く取り扱える
ノウハウがあれば非常に楽なのですが,あまり詳しくなかったとしても
問題文の方できちんと誘導してくれていますので,
その場でも何とかなる一応の親切設計にはなっています。


さて,指数にある x,y,z の扱いがとても悩ましいですね。
そこで今回のポイントは 『X=2^x,Y=2^y,Z=2^z とおいて
与えられた x,y,z に関する連立方程式を
新たに導入した X,Y,Z に関する連立方程式に直してやろう』作戦
なのです~

でも X,Y,Z に関する連立方程式に直すと何かいい事でもあるんですかね。
…ということはやはり思ってしまいますね。
元々与えられていた方程式はよく見ると3本とも x,y,z に関する
対称式になっています。もちろん X,Y,Z に直した後の方程式も 
X,Y,Z に関する対称式になっています。
そしてその3本の式から得られるのは
X+Y+Z=35/2 , XY+YZ+ZX=49/2 , XYZ=8
という基本対称式のセットなんです。

未知数が2個のときは,基本対称式 x+y と xy の値が分かっていれば
x^2+y^2 や x^3+y^3 のようなその他の対称式の値を求めたり
することが出来ましたし,2次方程式の解と係数の関係から x と y を
t に関する2次方程式 t^2-(x+y)t+xy=0 の2解として求めることも出来ました。
基本対称式の値が分かっていることはとても有利な状況なんです。

未知数が3個のときもやはり同じで,
基本対称式 X+Y+Z, XY+YZ+ZX, XYZ の値が分かっているというのは
とても好都合なわけです。
X,Y,Z を3解に持つ t の3次方程式を作ることが出来ます。
ということで,3次方程式の解と係数の関係をここでサラッとおさらいしてみましょう~~hiyob_en.gif


x の3次方程式 Ax^3+Bx^2+Cx+D=0 (A≠0) の3解が
α,β,γ であったとすると,方程式の左辺を因数分解して 
A(x-α)(x-β)(x-γ)=0 と書き直すことが出来ることになります。
左辺を展開すると Ax^3-A(α+β+γ)x^2+A(αβ+βγ+γα)x-Aαβγ=0
になります。係数比較によって
B=-A(α+β+γ) , C=A(αβ+βγ+γα) , D=-Aαβγ
が得られます。つまり,

α+β+γ=-B/A , αβ+βγ+γα=C/A , αβγ=-D/A

というおなじみの式が出てくるのですkaeru_yodare1.gif

今回の問題では X+Y+Z=35/2 , XY+YZ+ZX=49/2 , XYZ=8
という状況になっているので, X,Y,Z は 
t の3次方程式 t^3-(35/2)t^2+(49/2)t-8=0 の3解になっていることが
分かりますねー。

まずはここまでの流れをまとめてみましょう~kasabake.gif


q1_2013110517242758f.jpg
q2_20131105172251aff.jpg
q7_201311051727513d3.jpg




係数が微妙にめんどくさそうな数値ですね~~
係数が分数だとなんとなく嫌なので両辺に2を掛けて整理することが多いのですが
問題文の流れに沿って今回はこのままで行きましょう~

高次方程式を解く上で有効な手段というのは因数定理というやつですね~
左辺が t-k を因数に持つとしたら,左辺の3次式に t=k を代入すると
式の値が 0 にならなければならないことを利用したアイデアです。
因数分解で使うたすき掛けの方法と一緒で,あれこれ試行錯誤しながら
作業をする性格のものであることが悩ましいところですが~

因数の候補としては,定数項の約数だとかある程度パターンが決まっているのですが
大体最初は t=±1 を代入するのを試してみることが多いんじゃないでしょうか。
今回も t=1 で実はうまくいきます。つまり t-1 を因数に持ちます。

そのことに着目して左辺を因数分解してもいいのですが,
実は,更に親切なことに,問題文をよく見てみると因数分解の一部が
はじめから書いていて, t-1/2 を因数に持つことが既に分かっているのですm_0034.gif
因数定理を知らなくても解き進めていくことが出来たわけですね。

t^3-(35/2)t^2+(49/2)t-8 を t-1/2 で割ったときの商は
筆算でも組立除法でも係数比較でも好きなやり方で求めて下さい。
出てきた商は更に (t-1)(t-16) と因数分解できます。

よって3次方程式 t^3-(35/2)t^2+(49/2)t-8=0 の3解は t=1/2,1,16
X≦Y≦Z より X=1/2, Y=1, Z=16 になりますm_0140.gif


q2_20131105172251aff.jpg

q3_20131105172252a4d.jpg

q4_20131105172252436.jpg


あとは X,Y,Z から元の x、y,z に戻してやるだけですね。
簡単な指数方程式です。
対数を使って解くか,

q5_201311051722532c4.jpg


指数の底を揃えるかして解くと良いでしょう~

q6_20131105172253f63.jpg


対数の底を問う空欄もあるので前者の方が一応いいんでしょうか~m_0146.gif





そんなわけで無事に最後まで来ましたね。
色んなやり方があるような問題でもないため,誘導のレールに乗り損なうと
困ったことになりそうな問題でした

次回は第2問をやっていきましょう~m_0239.gif









                   
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