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2013年センター試験数学ⅡB 第2問

2013.11.10 20:13|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター試験数学ⅡBの第2問です~

問題はこの辺とかから~ くりmini
http://school.js88.com/sd_article/dai/dai_center_data/pdf/2013sugaku2B_q.pdf


微分積分の問題ですねーー

最初のほうで増減表書いたりグラフ描いたりして
後半は面積計算,というベタな展開です。

グラフの対称性などを使えば計算量を軽減することも可能で,
なんとか手詰まりせずに解き切ってみたいところです~

さて,最初に与えられているのは y=x^3-3a^2x+a^3
という x の3次関数です。
微分すると y´=3x^2-3a^=3(x-a)(x+a) となるので
a>0 の条件から, f(x) は x=±a で極値を取る関数であることが分かります。
何度も何度も色んな問題で3次関数のグラフを描いてきていれば,
グラフの概形は増減表など描かなくてもある程度察することは出来るかと思います butterfly04.gif
x^3 の係数が正なので, x=-a のほうが極大で,
x=+a のほうが極小値を与えます。

r1_201311101850079fe.jpg




さてここで,極大点,極小点,原点の3点を通る放物線 C を考えるようですよ~
原点を通る放物線なので, y=px^2+qx または y=rx(x-s)
のようにおいてみたらいいんじゃないでしょうか ny_ozouni.gif
今回の場合は前者で攻めたほうが多少計算が楽そうなので,そっちでいきます~
より一般の2次関数の決定問題については過去の記事で詳しくやってます~

r2_201311101850079b4.jpg


次に求められているのは,この放物線の原点における接線 ℓ の方程式です~
微分を使って求めてもいいですし, 判別式=0 を利用したやり方でもOKです~

更に,原点における法線 m の式も要求されています。
接線の傾きが分かれば,それと掛けて -1 になるものが法線の傾きです~ dog_shy.gif


r3_2013111018500848d.jpg

以下のように,判別式を用いずに重解を持つ条件を考察することも出来ます~
重解を持つってことは両方の解が一致しないといけませんよねーという発想です

r4_201311101850091b1.jpg


ここからがちょっとややこしくなってくるんですよねーー

新たに放物線 D というものを考えます。
これは放物線 C を x 軸に関して対称移動させたものです。
つまり上下ひっくり返したものだということです。
一般に y=F(x) という関数のグラフを x 軸に関して対称移動した
グラフの方程式は y=-F(x)
 と書けました kuma_fly.gif
各 x の値に対して,対応する y の値が符号が入れ替わるからですね。

この放物線 D とさっき求めた接線 ℓ とで囲まれる領域の面積 S 
を求めなければいけません。
放物線と直線で囲まれる領域の面積なので,いわゆる"1/6公式"を使うと計算が楽ですね

r5_2013111018500950b.jpg



これに対し,もう1つ面積 T というのが出てきます。
これは放物線 C と法線 m とで囲まれる領域の面積です~

S と同じようにして T も求めることが出来ますね。
でも,設問をよく見ると C と m の交点の x 座標までは
問われていますが, T 自体は問われていません。
代わりに S=T となるのは a^4 がどんな値の時かということが問われています。

C と m の,原点じゃない方の交点の x 座標は
問題文の空欄の様子を見ても分かるように,何だか面倒くさそうな値です~
T の値は更にもうちょいと面倒になることが想像できますね。
実際に T を計算して S=T という方程式を立ててもいいですが
実は T を計算せずに済ませてしまうやり方なんかもあったりします ny_hatsuhinode.gif



まずは実際に T を計算する方法から試してみたいと思います~
C と m の交点の面倒くさい x 座標の値は何か文字でおいてしまうと
少し扱いが楽になりますよ~
ここでは b とおいています。「文字でおかない」+「1/6公式を使わない」で
攻めると多分計算は結構大変になりそうですね(特に計算式を綴るのが)。
時間のないセンターの現場では致命傷になりそうです~

r6_20131110185010895.jpg

r7_20131110185035785.jpg

r8_20131110185035c59.jpg



上の解法では (4a)^3=b^3 という,
両辺が何かしらの3乗になってるということで3乗根をとるということをしていますが
(4a)^3-b^3=0 を因数分解するという方針でも良いかと思います。

r9_20131110185036298.jpg
r10_20131110185036be5.jpg


b^3 の部分を展開してしまった上で整理して解こうとすると,
a^4 を新変数と思って因数定理を使って因数分解することが出来ますが,
係数が大きくなる上に a^4=±1 から順に代入する実験をしていって
a^4=1/4 を代入するというところに実験が到達するまで時間がかかりそうです。
得策ではないですね~~bye04.gif


r11_20131110185037fe3.jpg






今度は T を計算せずに解いてしまうパターンについて考えてみましょー bye03.gif

ポイントは2つの放物線 C と D が線対称であるということです~
対称であるということは C と D は合同であるということです。

そこで, D と ℓ のペアを上下ひっくり返してみましょう~
当然ながら D は C と重なってしまいます。
ℓ は m と重なるかどうかは知りませんが~。
でも, S と T が等しくなるためには,2直線が重なってしまわないといけません~ hiyoko05.gif


r13_20131110185046c04.jpg


2直線が重なるということは,放物線との交点も重なるということなので,
4a と b が等しくないといけないわけです。
これで, T の計算なしで 4a=b の関係式が得られました~~ ladybug.gif




更に,もっと簡単に解いちゃうことも出来ます。
放物線と直線のペアがひっくり返して重なってしまうということは,
放物線だけじゃなく直線も含めた図全体が線対称になっているということなので
x 軸が ∠POQ の2等分線になっていなければいけませんね
ℓ と m は垂直なのだから, x軸によって 45° ずつに分けられます。
つまり, ℓ の方程式が y=-x, m の方程式が y=x になるときですね
それに気付いてしまえば瞬殺です~

r12_20131110185037392.jpg


こういうカラクリが潜んでたりするのがセンターの醍醐味ですね~

次回は第3問をやっていきます~hiyo_uru.gif










           
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