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2013年センター試験数学ⅡB 第3問

2013.11.20 17:18|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター試験数学ⅡBの第3問ですよー


問題はこの辺とかから~箱ドットおにおん2mini
http://school.js88.com/sd_article/dai/dai_center_data/pdf/2013sugaku2B_q.pdf


数列の問題です~
今年の数列の問題はとても話題性がありました。

と言いますのも,これまでセンターには出ないと思われていた
数学的帰納法が出てしまったからです~dog04.gif

確かに出題しにくいテーマではあるのですが,
そして実際出されてみた問題を見てもどうもイマイチ感はあるのですが,
それでも出てしまったんです。

2次試験も数学がある人はそれなりに対策はしていたかとは思いますが,
センターでしか数学を使わない人などは,不意打ちだったかもしれませんね。
センター対策用の教材に終始していたとすれば
ほとんど帰納法対策はしていない状態だった可能性があります

対策済みの人からすれば,誘導も丁寧だったし解きやすかったという見方もあります。
帰納法部分の穴埋めは「b」か「c」のどちらかが入るところの連発で
その気になれば実際に計算してみずにノリで入れても正解してしまう可能性も
無きにしもあらずといった感じですね。
「数学的帰納法」の名称を答えるだけで点数がもらえるというのも嬉しいです。

ただ,4項間漸化式という見慣れない対象が相手であったことと,
n の偶奇で計算を分ける混乱しやすいタイプのものだったこと辺りは
ちょっとややこしかったのかもしれません。



では具体的に見ていきます~dolphin.gif

序盤は,普段から解き慣れたタイプの2項間漸化式が相手です。
p_{n+1}=p_n=α とおいた方程式の解を利用して等比数列を表す漸化式に変形してしまうんでしたね~

s1_20131201011208b29.jpg


等比数列を表す漸化式を作り出すという点においては,
以下に挙げるように特性方程式を使わず,階差数列に着目するという手もありますよ~drink_hottea.gif


s10_20131120145420e5e.jpg


数列 {p_n} の初項から第 n 項までの和は
等比数列の和の公式を利用して求めることが出来ます。
1/(2・3^(n-2)) の部分が初項 3/2, 公比 1/3 の等比数列になっていますね。
少し前にある (3/2)(1/3)^(n-1) の形のほうが分かりやすいです。

指数部分が n-1 以外になっている場合に初項と公比が分かる形に
変形することはできるようになっておきましょう~
(n+2 とか 2n とか 3n-2 とかになってると分からなくなる人が割といます
初項は n=1 を代入して求めてしまってもいいかもしれないですね。

s2_20131120135112d17.jpg


ここからが本番です。
4項間漸化式 a_{n+3}=(a_n+a_{n+1})/a_{n+2}, a_1=a_2=a_3=3
を解くという流れなのですが,こんなよく分からない漸化式の解き方なんか
よく分からないので,一般項を類推してみようというお話です

はじめの何項かを求めてみることで
どうも奇数番目において毎回 3 が現れそうな予感がするので
n の偶奇で分けて, b_n=a_{2n-1},c_n=a_{2n} とおいてみます。

任意の自然数 n に対して, b_n=3 であることを実証したいと思います
そのためには,任意の自然数 n に対して, b_{n+1}=b_n であることを示せば十分です~
b_1=a_1=3 が分かっているので, b_n=b_{n-1}=b_{n-2}=…=b_2=b_1=3
になるからですね~

「任意の自然数 n に対して, b_{n+1}=b_n 」の部分を数学的帰納法を利用してみます。
n=1 のときは, b_1=a_1=3, b_2=a_3=3 より b_2=b_1 が成り立ちますね。
kを自然数として, n=k のときも命題が正しい,すなわち b_{k+1}=b_k
が正しいと仮定してみます。
このとき n=k+1 のときも命題が正しいことを確かめるのが数学的帰納法の流れになりますね。
b_{k+2}=b_{k+1} を言うことが目標ですdog_happy.gif


b_{k+2}=a_{2k+3}=(a_{2k}+a_{2k+1})/a_{2k+2}=(c_k+b_{k+1})/c_{k+1} 

c_{k+1}=a_{2k+2}=(a_{2k-1}+a_{2k})/a_{2k+1}=(b_k+c_{k})/b_{k+1} 

の2本の式から c_{k+1} を消去すること,そして帰納法の仮定 b_{k+1}=b_k
その2つを組み合わせて目標の結果を目指しましょう~

s3_201311201351131c6.jpg


s4_20131120135114591.jpg


b_n=3 (n≧1) が分かってしまうと,{c_n} の方の一般項も分かります。
今まで b_n とか b_{n+1} とかになっていた箇所が全部 3 に置き換えてられしまうので
{c_n} に関する簡単な漸化式になってしまいます~

しかもそれは序盤で解いた {p_n} に関する漸化式と一致してしまいます。
冒頭で解いた漸化式は伏線だったわけですね~
従って, c_n=p_n であることが分かります~senpuki04.gif


s5_20131120135114554.jpg




これでひと通り最後まで解くことが出来ました。
どれだけ誘導に正しく乗ることが出来るかどうかが勝負の分かれ目ですねー。








なお,ここから先は余談です~~

それにしても, a_{n+3}=(a_n+a_{n+1})/a_{n+2} などという複雑な漸化式は
帰納法を使わない一般的解法とかってあるんでしょうかねー。
それがあまり思いつかないので,どうしても何かしら類推に近い考察を挟んでしまいます。

下の考察からは,1つ1つの n に対して
b_{n+2}-b_{n+1}=0 または c_n={(b_{n+1})^2-b_{n+2}b_n}/(b_{n+2}-b_{n+1})
のどちらかが成り立つ事が分かります。
一般的には前者が成り立つ n と後者が成り立つ n とに分かれるのでしょうが
本問のように常に前者が成り立つというシチュエーションというのは
非常に特殊かつ状況を簡単にしているのだなーということが伺えますね。

s8_201311201351361a9.jpg

s9_20131120135136ae6.jpg




類推した一般項が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する代わりに,
実際に漸化式に代入して確かに条件を満たすぞということを
確認するという手もあります。

s6_201311201351156b0.jpg

この方法の場合,一応安全策として,
与えられた漸化式を満たす数列は1つしか無いことを帰納法で確認しておくのが良いと思います。
この漸化式を使うと n=1 から順番に a_n の値を一意的に求めていけるので
どう考えても漸化式を満たす {a_n} は一意的に決まっているだろう~
とは思うでしょうが,それは本来は帰納法を用いて証明すべき内容です。
『本当はもっと厳密に論じるべきなんだけど高校数学では直感的な解釈に任せます』
といった感じで軽く流される内容は割と多いんですよね
(例えば, n→∞ は「nを限りなく大きくする」で済ましちゃってます)。
この「漸化式の解の存在と一意性」も高校では詳しく論じませんが,
本当は当たり前なことではなくてしっかり証明すべき内容なんですよねpakukapa.gif

高校数学の範囲内でどれくらい詳しく論じることを要求するかというのは
よく分からないというか,見る相手によるという部分が大きいと思いますが,
「類推した一般項を漸化式に代入して実証」パターンでは一意性の確認は入れておいたほうが良さそうです。

s7_20131120135135078.jpg



本問の誘導の流れも,よく見ると帰納法を用いているのは
「任意の n に対して b_n=3 」 という内容についてではなく
「任意の n に対して b_{n+1}=b_n 」 という内容についてです。
後者の事実が正しいことを利用して,前者の結果を得ているので
類推した一般項が正しいことを直接的に帰納法で確かめるやり方とは
さりげなく微妙に異なっていますね。

「類推した一般項が正しいことを直接的に帰納法で確かめるやり方」も,
漸化式の解の存在が本来は前提になっているはずです。
解の存在を未確認の状態では,帰納法で示した内容は
「この漸化式を満たす解があるかどうかは分からないけれど,もし仮に存在するとしたら
一般項は****ですよ」ということになってしまうので
「a_n=****」 は必要条件になってしまいます。
****が実際に解になっていることは改めて代入するなどして確かめてみなくては
いけなくなるでしょう。つまり十分性の確認が必要になりますかね。

本問の「任意の n に対して b_{n+1}=b_n 」の部分に帰納法を使うというのは
実にさり気なくこの問題を回避しているように見えます





    
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