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2013年センター試験数学ⅡB 第4問

2013.11.23 01:12|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター試験数学ⅡBの第4問をやっていきましょー


問題はこの辺とかから~kero.gif
http://school.js88.com/sd_article/dai/dai_center_data/pdf/2013sugaku2B_q.pdf

ベクトルの問題です~

センターのベクトルの問題といえば,最近は圧倒的に平面ベクトルより空間ベクトルの方が
出題率は高いのですが,今年は平面ベクトルが出ました

ちなみに2007年から2012年まで6年連続で空間ベクトルでした~
振り返ってみると,
1990年 平面   1991年 平面   1992年 平面   1993年 平面
1994年 平面   1995年 平面   1996年 平面
   1997年 空間
1998年 空間
   1999年 平面   2000年 空間   2001年 空間
2002年 平面   2003年 空間   2004年 空間   2005年 平面
2006年 平面
   2007年 空間   2008年 空間   2009年 空間
2010年 空間   2011年 空間   2012年 空間
   2013年 平面
   
となっていて,最近が空間ベクトルの傾向が強いとはいえ平面ベクトルも
結構出題されてきていることは見て取れますね。

今回は平行四辺形をテーマとした標準的な平面ベクトルの問題になってます~
ベクトルの問題は,ベクトルだけを使って解こうとせずに
必要に応じて三角比や基本的な平面図形の性質なども組み合わせて解いていくと
効率が良くなることなんかもありますよ~ korobo.gif

t1_201311222115402f5.jpg

平行四辺形OABCは OA=5, OC=4 を満たしています。
∠AOC=θ とおきますが,θの取り得る値の範囲は 0<θ<π です。
上の図のようにθは鋭角のときもあれば,直角や鈍角の場合もあり得るので注意しておきましょう~

Dは線分OAを 3:2 の比に内分する点なので OD=3,DA=2 です。
頂点Aを通り直線BDと垂直な直線と直線OCの交点をEとしています。
後々出てきますが,BDとAEの交点はFとおいておきます。
Eは必ずしも線分OC上にあるとは限らないので注意です~

(→OA)=(→a), (→OC)=(→c) とおいて, (→a), (→c) の2つを
使って考察を色々やっていきます~
(1)は, (→OE)=t(→c) とおいたときの係数 t を求めてみよう~
というお話です

誘導の流れとしては (→AE) と (→DB) を (→a), (→c) を用いて表して,
(→AE)・(→DB)=0 の式から t を求めようという感じです~
(→a)・(→c) の値が必要になるのであらかじめ求めておく必要があります。

問題文を見ると, t は cosθ の分数式になるんだろーなーってことが分かりますね。
正しく (→AE)・(→DB)=0 の式を t について解くことが出来るかどうかが試されます kasabake.gif

t2_20131122211540726.jpg



ちなみに,誘導を無視してベクトルを用いずに t を求めることももちろん出来ます~
例えば三角形の相似関係を用いると良いかと思います ladybug.gif

下図において, △AIE と相似な三角形がいくつかあります。
例えば △AIE∽△DJB であることに着目し,線分比の関係から方程式を立てて 
t を求めることが出来ます。
ただし,序盤で述べたように, θ は鋭角とは限らず,生じ得る図のパターンは
下図のようなものだけではありませんので,本来は生じる各パターンについてそれぞれ考察が必要です。


t3_20131122211541fea.jpg
t4_201311222115426c8.jpg


ほかにも,座標を設定して解くという方法もあります。
相似や合同などの関係性などを見付けるのが苦手な人には向いているかもしれない
とにかくすべて計算でゴリ押すという力技の解法です~ insect_kabuto_m.gif
この方法では図を場合分けして解く必要がないのでその点は嬉しいですね。

O,A,B,C,D の座標を決める → 直線BDの傾きを求める 
→ それと直交する直線AEの傾きを求める → 直線AEの方程式を求める
→ AE と OC の交点の座標を求める → 線分OEの長さが分かるので t が分かる


という流れです~
下の解答例では,最初に描いた図のイメージを意識したため,
ついつい平行四辺形OABCを第4象限に作ってしまいましたが,
第1象限に来るように設定したほうが分かりやすかったですね。

t5_20131122211543ce4.jpg

t6_20131122211543c45.jpg




元の設問に戻りましょう~
次は(2)です~

ここから先は E が線分 OC 上にある場合に限定していくようです~
これはすなわち, 0≦t≦1 が成り立つということと同じです。
(1)で求めた t の式を代入して, θ に関する条件に言い換えてみましょう~
というお話のようですよ hiyob_en.gif

r=cosθ とおきます。
t の分母の 4(r+2) が鬱陶しいので, 0≦t≦1 の各辺を 4(r+2) 倍して
分母を払ってしまいましょう
ただし, 4(r+2) が正か負かによっって不等号の向きが変わってしまうことに
注意しなければなりません~
幸いにも今回はいつでも 4(r+2)>0 なので不等号の向きは変わらないようです。
r の取り得る値の範囲が求められたら,それを三角不等式とみなして解くことで
θ の取り得る値の範囲が求められます。

t7_2013112221162646b.jpg


誘導に沿った解き方が上に挙げたものですが, r の範囲の求め方としては
次のようなものもあります。

まずは(1)で求めた t の式を今度は逆に r について解いて,
r を t の関数として表します。グラフを描くと,反比例のグラフを平行移動したものに
なるので,あとは 0≦t≦1 における r の取り得る値の範囲を求めるだけです robo.gif
ここで用いたような式変形の仕方は,微分せずに分数関数のグラフを描くときなどに重宝するので
身に付けておきましょう~

t8_20131122211627fa8.jpg


また,最初の解法のように分母の 4(r+2) を払うという作戦でなくても,
以下のような変形で r の範囲を得ることも可能です。
ポイントは 0<a<b<c ならば 1/c<1/b<1/a が成り立つことです~ rabi_smile.gif


t9_20131122211628465.jpg



それでは(3)に進みましょう~
r=cosθ=-1/8 の場合を考えるようです。
これは(2)で求めた範囲の中に含まれていますので E は線分OC上にあります。
また, cosθ<0 より θ は鈍角なので図を描くときは注意です

r の値が具体的に分かっているため, t の値も具体的に分かります。
ちなみに t=1/2 が出てくるので, E は線分OCの中点になります。

この(3)では最終的に △BEF の面積を求めることが目標です~
そのヒントとなる情報として,誘導に従って直線AE,BDの交点 F が線分AEを
どんな比に内分しているかを求めてみたいと思います~

ここの部分はまた様々な方法が使えるのではないかと思います。

ベクトルを活用したければ, F が線分AE上にある,かつ,線分BD上にある
ということに着目して (→OF) を2通りに表示して連立方程式を解くという
おなじみのやり方が良いでしょう~~
(→OF)=α(→OA)+β(→OE) の形の表示式から AF:FE=β:α が従います~ s2_sum_bbq.gif

t10_20131122211628b74.jpg
t11_201311222116293d0.jpg


ベクトルを使うと連立方程式を解く事になって面倒だというのなら,
相似を使ってみるのもなかなか良いです。
平行四辺形は2組の対辺がそれぞれ平行なので相似な三角形の組を作りやすいです。
AF:FE を適当な2つの三角形の相似比として求められないかを検討してみましょう aicon_bbs16.gif
下の解法例では元の図形から補助線がはみ出して △EFG∽△AFB という関係に着目しています~

t14_20131122211703a71.jpg


面積比に着目してみる方法も有効です~
ここのブログでは対角線分割と勝手に呼んでいる毎度おなじみの方法がここでも大活躍です bear.gif
AF:FE を求めるには △EDB:△ADB を求めればいいですね。そんなに大変ではないです。
ただどちらかというと DF:FB=△DAE:△BAE のほうが若干求めるのが簡単なので
そっちを求めて (→OF) の表示式を求めてそこから AF:FE の値を拾ってみます~

△ABE は △OAB と面積が等しくて平行四辺形OABCの面積の半分です。
△DAE は △OAC の半分(つまり △OAE )の更に 2/5 です~

t12_20131122211630271.jpg


t13_20131122211703970.jpg


あるいは,余弦定理でも正弦定理でも相似でもなんでもいいので,とにかく色々駆使して
線分AF,FEの長さを実際に求めてしまって比を計算するという方法もあるでしょうね。
それほど大した手間でもありません~
下の解法例では,「余弦定理」,「∠DAB=180°-θ」,「三角形の面積公式」
の3つを利用して計算しています butterfly07.gif

t15_201311222117045e6.jpg
t16_20131122211704133.jpg



では,元の設問の方に戻ることにしましょう。
△BEF の面積を求めることが目標でした。 AF:FE はそのためのヒントだったわけです。
誘導によれば次に平行四辺形OABCの面積を求めさせています。
それが分かればその半分の面積を持つ △ABE の面積も分かります。
底辺分割の原理から △BEF の面積は △ABE の面積の2/3倍です bin01.gif



平行四辺形OABCの面積としては素直に 底辺×高さ を計算すればOK~

t17_20131122211705bbe.jpg

あるいは △OAC の面積の2倍として求めてもOKです~
sinθ を使った公式と内積を使った公式も,どちらも有効です。

t18_2013112221170617b.jpg

最後は △BEF の面積を先程述べた方法で求めておしまいです~

t19.jpg


△BEF は直角三角形なので,EFとBFの長さを求めて直接, 底辺×高さ÷2 を計算しても構いません。
少し上の方で,EFやAFの長さを求める解法をやってるので,その結果を使いましょう~



t20.jpg


最後に,(1)の別解として挙げた座標を用いた力技の解法の続きとして(3)をやってみましょう~bye03.gif
cosθ の値が分かっているので直線AE,BDの方程式もスッキリした形で出てきます。
交点Fの座標を求めて,それをヒントに AE:EF を求めます。
また,座標が分かっているときの面積公式を使って後半の面積を出しています。

t21.jpg

t24.jpg


t22.jpg

t23.jpg








こんな感じで今回はここまでとしようかと思います~~b_body_jump_20120809140052.gif













   
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