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2013年センター試験数学ⅡB 第5問

2013.11.24 00:00|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター試験数学ⅡBの第5問をやります~

問題はこの辺などから~ わんちゃんmini
http://school.js88.com/sd_article/dai/dai_center_data/pdf/2013sugaku2B_q.pdf

統計の問題です~

統計の単元は,数列・ベクトルが苦手な人のための駆け込み寺のような存在として知られていますねheri01.gif
覚えなければならない事項が数列やベクトルと比べると少なく,
その気になれば2,3日以内で仕上げてしまうことすら出来ちゃうかもしれない単元です~

試験問題は,基本的には地味な作業です。
データを読み取って平均値や分散や相関係数なんかを計算できるようであれば,十分高得点が狙えます。
しかし,簡単な足し算の作業も,1箇所でも間違うと全てが水の泡になるリスクがあります
平均値を誤ると,それを利用して求める分散以下も全部アウトになるので怖いです。
また,やることは単純でも,地味に面倒くさいんですよねー。
なんだかんだで時間がかかってしまうというのが特徴です ikari01.gif

でもまぁ,今年の問題は比較的取り組みやすい方だったのではないかと思います~ carrot01.gif

10人の生徒が国語,英語,数学の試験を行ったときの点数に関する考察がテーマです~
前半は国語と英語の2科目について考えていきます~
10人の得点は以下の表のようになっています~


u1_201311231542409cb.jpg


A,B,C,D と数字が分からない部分が4箇所ありますね。
まずはこれを埋めていこうってわけですね~

国語と英語の得点や平均点,分散に関して以下のように文字を置いておきます~

u2_201311231542401ce.jpg

国語が x なら英語は y を使えばいいじゃないかと思うところですが,
問題文の後半で,数学の点数の方に y を使っているので
ここでは英語は z を使っておくことにしますよ~

国語に関しては全員の得点が判明しているので,平均値と分散は素直に計算できます。
この2つの数値は大問全体を通してあちこちで使うので,絶対に間違ってはいけません

u3_20131123154241279.jpg

どちらも整数値で小数点以下が全て0だっていう辺りが憎らしいですね。
設問の空欄の空け方からして,
何だか計算ミスしてるんではないかという不安が付きまとって仕方ありません


ところで,分散を求めるときの便利な方法として, (2乗の平均値)-(平均値の2乗)
を計算するというものがありますね。
今回はそれを使ってしまうと逆に計算が大変になってしまいます kaeru0-02.gif
素直に定義に従って計算した方が楽チンですね。
足す項の数字が小さくなるし,いくつか0も登場しますしね。
(2乗の平均値)-(平均値の2乗) に慣れてしまうと常にこっちの形で計算してしまう癖が
付いてしまうかもしれないですね~

u4_201311231542420ff.jpg


あと,さりげなく国語の点数の中央値を聞いてますね。
10人の得点を小さい順に並べてみてちょうど真ん中に来る数値を答えればOKです~
10人いるので5人目と6人目の数値の平均が中央値になります

u15_20131123154349782.jpg



一方,英語の得点の方は生徒6の得点Cと生徒9の得点Dが分かりません。
代わりに平均点8.0点と分散1.00が分かっています。

CとDに関する連立方程式を平均と分散の関係式から作って解けば良さそうですね~ robo.gif


u5_20131123154242e8b.jpg
u6_20131123154243962.jpg

C+D=16 を使って第2式から CD=63 を得ることが出来ます。
このことから,CとDは t の2次方程式 t^2-16t+63=0 の2解として
求めることが出来ますよ~ risu.gif


u7_20131123154323baf.jpg

あるいは, D=16-C を用いて D を消去するという手でもいいですね~ rokuro.gif


u8_201311231543242ba.jpg




さて,これで国語と英語については必要な数値は全てわかりました。
これらを踏まえて,国語と英語に関する相関図を4つの中から選ぶのが次の設問です。

どうやって見付けるかについては,着眼の仕方は色々あるかとは思いますが
とりあえず0番と3番にだけ「国語7英語8」という点が含まれているところに着目してみましょう。
しかし,そんな得点を取った生徒は10人の中にどこにもいません~

というわけで0番と3番は予選落ちです~
1番か2番が正解なので,この2つの相違点を見つけてみましょう~
0番には「国語5英語10」という点があります。
そもそも英語で10点を取った生徒はいないので,0番も嘘ですね~
というわけで消去法で2番が正解です~~

この手の問題は消去法がなんだかんだで早いっすね rice_hungry.gif


次は相関係数を求めましょう~
国語と英語の得点の共分散を求めて,それを国語と英語の標準偏差で
それぞれ割ってやれば
良いです~
共分散は (国語の点数の偏差)×(英語の点数の偏差) の平均です。
つまり (x_k-7)(z_k-8) の平均です~
くれぐれも計算ミスをしないように気をつけましょう~ rabi_shy.gif


u9_201311231543250c9.jpg


共分散に関しては, (積(x_k)(z_k)の平均)-(x_kの平均)(z_kの平均)
という計算式で求めることも可能です。
ただし,今回はこっちで求めると数字がでかくなって厄介です。

u10_20131123154325f30.jpg










ここからは国語と数学の得点に関する考察をしていきます。

u11_2013112315432603e.jpg


数学の得点については個人の得点は特に明らかにはなっていませんが,
とりあえず平均点5.4点と分散1.44が分かっているようですね。
数学の平均点が国語,英語より低いのが残念ですなあーー
分散1.44という数字を見て平方数144の影がチラついてるのは分かると思います。
数学の標準偏差が1.2という根号を外した形で表現できる親切設計ですね。

コレとは別に国語と数学の得点の相関係数が与えられています。
これらの数値を使って,国語と数学の得点の和 w_k=x_k+y_k の分散を求めるのが目標のようです。


平均ならすぐに求められます。国語と数学の平均値の和になります~ onigiri_1.gif


u12_20131123154327fac.jpg




ここで, (国語の得点の偏差)×(数学の得点の偏差) の合計を T とおくようです。
言い換えると国語と数学の得点の共分散の10倍です。

相関係数が-0.125と分かっているので T の値も直ちに求められます korobo.gif


u13_201311231543489e5.jpg


あとは誘導に従って分散を計算します~


u14_201311231543499fc.jpg






これでひと通り解き終えましたね~
決して難解な要求はしていない問題ではありますが,
計算ミスがとても怖いですね heart2_glitter.gif





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