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2013年センター試験 追試 数学ⅠA 第1問

2013.12.27 02:20|大学入試問題
どもども。

12月も終盤ですね~
センター試験がだんだん近付いてきました。
この間までⅡBの問題の記事やってたし,ついでなんで追試の方もやっていきましょう~ kaeru_en4.gif
追試の方って解説してくれてるトコとかあまり多くないですし!

つーわけで,今回は今年のセンター試験の追試の数学ⅠAの第1問をやります~~

問題はこの辺とかから~
http://www.dnc.ac.jp/modules/file/index.php?page=visit&cid=96&lid=1853

前半は整式に関する計算問題,後半は定番の命題と論理の問題です~


まずは前半の方を見ていきましょーー


2つの整式 P,Q が与えられています~
Q は P において x の値を 1 だけずらしたものになっていますね。

まずは P-Q を計算する設問です~
これくらいなら特に何かしらの工夫を施すまでもなく
さっさと展開して計算してしまうのがいいでしょうねー

c1_2013121301392365e.jpg


そして,以下では P-Q=x^2 になる場合について考えていくようです。
これが恒等式になるためには両辺の各次数の係数がそれぞれ一致しなければいけません。
そこで係数を比較して連立方程式を立てて解きます~ kojika.gif


c2_20131213013924264.jpg

係数比較法を用いて解くように問題文で誘導されているので
それに素直に従えばよいわけですが,
以下のように数値代入法を使って係数の値を求めることも可能です~ korobo.gif


c9_2013121303231598f.jpg

数値代入法を使う場合,方程式を解いて得られた a,b,c の値は
P-Q=x^2 が恒等式であるための必要条件に過ぎないので,
本来は最後に十分性の確認作業を行わねばなりません。
しかし今はマーク式の試験ですし, a,b,c の値が1通りだけしか出てこないことは
問題文の空欄の数から分かってしまう仕様なので,丁寧にそんな作業をすることは
後回しにしちゃってもよいでしょう~


なお,係数比較でも数値代入法でもない方法として,
P(x)=Q(x+1) であることに着目して階差数列を使う方法も考えられます m_0243.gif
Q(x+1)-Q(x)=x^2 が任意の実数 x に対して成り立つような整式 Q(x) を
求めたい状況なので,特に x=n (n は整数) のときは
Q(n+1)-Q(n)=n^2 が成り立たねばなりません。
つまり数列 {Q(n)} の階差数列が {n^2} ってわけね。
このことから数列 {Q(n)} の一般項を求めることが出来ます。


c10_20131213032316361.jpg

c11_20131213032317710.jpg


これで, x が0以上の整数の場合に限っては Q(x) の値が分かったわけですが,
x が負の整数の場合や,そもそも整数でない場合においてはまだ Q(x) の値は分かっていません。
でも実は今得られた Q(n) の式において n を x  に置き換えてできる
x の3次式がそのまま Q(x) の式になっているんです~ m_0242.gif

実際に Q(x)=(1/3)x^3-(1/2)x^2+(1/6)x とおいてみれば
確かに Q(x+1)-Q(x) を計算すると x^2 になっていることが分かるはずです

そういうわけで,条件を満たす整式がたまたま1つ見つかったのですが,
条件を満たす整式が1個しかないのか,それとも複数あるのかはこの時点では分かっていません。
もしかしたら,これとは別の何かしらの整式 R(x) も R(x+1)-R(x)=x^2 を満たして
しまうかもしれませんね。
そこで,条件を満たす整式が (1/3)x^3-(1/2)x^2+(1/6)x のただ1つであることを
確認しておきましょう~ ramen.gif

まぁ,今はマーク試験であり,解答欄の空欄の数から条件を満たす整式はただ1つであることが窺い知れるので
律儀に一意性の確認をしてないでさっさと次の問題にいくほうが得策ではありますが~

ここでは, Q(x+1)-Q(x)=R(x+1)-R(x)=x^2 を満たしていたら Q(x)=R(x)
になってしまうことから一意性を確認してみます rabi_smile.gif
上式から  Q(x+1)-R(x+1)=Q(x)-R(x) が成り立つことが分かりますが
これは Q(x)-R(x) が1を周期とする周期関数になっていることを意味しています。
つまり x の値が1増えると元の値に戻ってくるというわけですね。
一方で, Q(x)-R(x) は整式だったので,定数関数でなければ
x→∞ のとき正か負の無限大に発散するので周期関数には成り得ません
(定数以外が周期関数にならない理由はほかにも様々なものが挙げられると思います)。
したがって, Q(x)-R(x) は定数でなければいけません。
問題の設定上, Q(x),R(x) は ax^3+bx^2+cx の形で書ける整式でなければいけないので
Q(0)=R(0)=0 より Q(x)-R(x)=Q(0)-R(0)=0
が得られるので, Q(x)=R(x) が成り立ちます~


c12_2013121303231705e.jpg



そろそろ次の設問へ進みましょう~~ rice_hungry.gif


P^2-Q^2 を計算しなさいというものですね。
Q の具体的な式が上の設問でわかったので,それの x を x+1 に置き換えただけの
P の具体的な式も分かります。
なお, P=Q+x^2 として P を求めるとより簡明です。
あとは P と Q を2乗して差を取れば  P^2-Q^2 の値が出てきます。

ただ,それを素直に計算するよりかは
P^2-Q^2=(P+Q)(P-Q) に着目して P+Q と P-Q の積を計算するほうが楽です risu.gif
特に P-Q=x^2 は始めから分かっています。  

c3_20131213013925f16.jpg

P(x)=Q(x+1) として計算してもそれほど大変ではないです。

c4_201312130139252e1.jpg


よく見ると, P と Q は似た係数を持った3次式になっています。
A=(1/3)x^3+(1/6)x ,B=(1/2)x^2 とおけば
P=A+B, Q=A-B になっているので, P^2-Q^2=(A+B)^2-(A-B)^2=4AB
として計算できますね~






後半の命題と論理の方にいきましょう~

△ABCに関する条件 p,q,r,s の4つが与えられています~ teng.gif

(1)は p⇒q の対偶を述べるものです~
(¬p) と (¬q) をそれぞれ条件 p,q の否定だとすると
(¬q)⇒(¬p) にあたるものが p⇒q の対偶です~

(¬p) は A≧90°
(¬q) はド・モルガンの法則より B≦45° かつ C≦45°
ですよ~ 「または」が「かつ」に変わることに注意です~ tanuki.gif


c5_20131213013926e9e.jpg


(2)はおなじみの「***は***であるための***条件である」
みたいのを答える問題です~

まず p と q に着目してみましょう~
p⇒q と q⇒p の真偽をそれぞれ調べてみると良いです~

p⇒q の真偽については対偶 (¬q)⇒(¬p) の真偽を考察する方針で攻めると楽ですよー spaghetti.gif
(1)はそれを示唆するヒントだったんですね~
センター試験の論理・命題の問題では結構前問がヒントになってたりしますよー。

q⇒p の方は反例が作れます~

c6_20131213013927a56.jpg



次は r と s の方に着目します~

r⇒s と s⇒r の真偽を調べればよいです。
r⇒s が真であることは比較的簡単にわかるかと思います。
s⇒r の方も実は真です。
△ABCの内角のうち鈍角であるものは,多くとも1個なので cos A と cos B が共に
負になることはないので, cos A・cos B>0 となるのは 
cos A と cos B が共に正のときに限られてしまいます kaeru0-01.gif


c7_20131213013941359.jpg

c8_20131213013942651.jpg







とりあえず第1問はこんなとこにして
次回は第2問です~ hiyoko(1).gif






   
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