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2次関数の最大・最小の問題 その1

2013.12.15 03:08|数学
どもども。


今回は高校数学の定番問題まとめシリーズとして
2次関数の最大値と最小値に関する問題について整理していきましょう~kaerum.gif


2次関数の単元の問題については,
「少しでも方針に迷ったらグラフを描いて考える」というのが鉄則です。
だからまずは関数を平方完成して軸と頂点を探るところから始まります~


パターン1:基本パターン

まずは与えられた2次関数について, x が全ての実数を動くときの
最大値と最小値を考えてみることにしましょう~

2次関数のグラフは x^2 の係数が正のときは下に凸の放物線,
負のときは上に凸の放物線です。
前者のタイプでは y は頂点のトコロで最小値を取りますが,最大値はありません。
一方,後者のタイプではyは頂点のトコロで最大値を取りますが,最小値はありません。




d23_20131214033356c6a.jpg

d4_20131214032605e10.jpg




d24_20131214033356653.jpg
d5_20131214032606a99.jpg


後者のタイプでは最大値と最小値のポジションが逆になるというわけですね
以下では主にグラフが下に凸になるパターンのものについて考察していきましょうー



パターン2:特定の変域で考えるパターン

x が全ての実数の動くのではなく,限られた特定の範囲のみを動くときの
最大値と最小値を求める問題もよくありますよね。
必ずしも範囲の左端と右端のところで最大・最小になるとは限らず,
頂点の部分が考えている範囲に含まれるかどうかをよく見なければいけませんよ~

グラフを描いて一番高いところと低いところのy座標を読みましょう~ buta.gif
グラフを描くと視覚的に分かりやすくなるのでミスが減ります~

d25_2013121403335746b.jpg
d6_20131214032607f31.jpg

パターン3:係数に文字を含む2次関数の,変動しない変域における最大・最小

ややこしいのはここからですね~
考察対象の2次関数が, a やら k やらといったよく分からない文字定数を
含んでいることがあります。そんな関数の最大値や最小値を求めろという問題は何かと厄介です。
ただし, x の動く範囲に制限がないときは,頂点のところで最大または最小になるので
パターン1と同様に処理ができるため,何も怖いことはありません。
ややこしくなるのは x の範囲に制限が付く場合です~

次の問題を考えてみましょう~ car2_dump.gif



d26_20131214033357880.jpg


文字定数 a を含んだ2次関数の 0≦x≦1 における最小値と最大値を求める問題です。
グラフを使って考えるため,まずは毎度のように平方完成して軸と頂点を把握しておきましょう~

d7_201312140326353f6.jpg


よし軸と頂点が分かったので,これでグラフが描ける
グラフを描いて 0≦x≦1 の部分だけ見て最大値と最小値の値を拾おう
……と,意気込んでみるものの,いざグラフを描いてみるとある事実に直面します。

「・・・・ 0≦x≦1 はどこ!?」

軸が x=-a/3 であるような下に凸の放物線。これはまったく問題ないのですが,
a の値が具体的に決まっていないために, 0≦x≦1 の部分を書き示してみようと思っても 
それが出来ないのです kero.gif

0≦x≦1 という範囲は軸より左側にあるかもしれないし,右側にあるかもしれないし
あるいは軸がこの範囲に含まれてしまっているかもしれません
a の値次第で,どのパターンも起こり得てしまいます。うーん,困りましたね。

そこで講じる対応策というのが, a の値に応じて場合分けをするということなんですね
3パターン生じるのなら,そのそれぞれについて考えれば良いのです。
…言うのは簡単ですが,初学者にはハードルが高い要求です。

ところで,宇宙飛行士の選抜試験に,真っ白な絵柄のジグソーパズルをやらせる,
なんてのがあるとかないとかいう話はよく聞きます。
気の遠くなるような面倒な作業なので,
普通の人ならついつい「やってられるかーーーーー」と雄叫びを上げてパズルをぶん投げて
拒否反応を示してしまうと思います~
数学の「場合分けをして解いていく問題」ってやつもまた,
複雑さと面倒さゆえにそのような拒否反応が起こりがちな対象だと言えます。
1+1=2みたいにすぐ答えが出るものではないので,イライラしたり混乱したりして思考が停止してしまうんです。
しかし,そのイライラする作業を最後までぶん投げずに冷静に処理できる能力を試されているのです。
誰がやっても面倒くさい作業です。「面倒くさい」を理由に投げ出してしまったらその時点で負けです。

そんなわけで,場合分けをしながらこの問題は解いていかなければいけないのですが,
今回の問題では最小値と最大値,両方聞かれています。
2次関数のこの手の最小値と最大値を求める問題では,
「最小値を考えるときの場合分けの境目」と,「最大値を考えるときの場合分けの境目」が異なるため,
2つを同時に考察していく方針は煩雑で混乱しがちになるのでオススメできません eto_ushi.gif
この2つは似ているようで実は別々の問題だと思ってしまってもいいでしょう。


それではどうしたら良いか。
ズバリ,解答を2部構成にして,「最小値について」編と「最大値について」編とに
分けてしまえばいい
のです~~

それでは「最小値について」編からいってみましょうか~
最小値については 0≦x≦1 の位置がどこにあるか(軸より右か左か,または軸を含むかで3パターンあるね)に
よってそれぞれ最小値を与える x の値が変わっていしまいます。
そこでこの3つのパターンに分けて考える必要があるのですが,
「何に着目してこの3つに分けるか」についてはビミョーーに
個人個人で好みが分かれるところだと思うんですよね。
具体的に言うと,次の4つくらいはありそうだと思うのです~ isona.gif

(1) グラフの形で場合分け
(2) 軸の位置をだんだん横にずらしていきながら場合分け
(3) 0≦x≦1 の位置を相対的にだんだん横にずらしていきながら場合分け
(4) 軸が 0≦x≦1 に含まれるかどうかで場合分け


どれも結局,軸の位置で場合分けしていて,やってることは同じことなんですけど
この書き方だとまだ違いがよく分からないかもしれませんね。
「先に図がありきで,後からその図に見合った条件を立てる」のが(1)で,
逆に「先に条件がありきで,その条件に見合った図を描いて考える」のが(2)(3)です。
(4)については(1)型,(2)(3)型どれにもなり得ます。
ややこしいですが,微妙に違います。詳しくはこの後みていきます~

問題集や参考書の問題解説を眺めてると,(4)でやると言いつつ実質的には
(2)(3)のパターンになってる,というのが多いように見えますが
自分なんかは(1)パターンが習慣付いてます~ ipon.gif

これはあくまで「答案を作るときのその人の中のスタンス」の分類で,
出来た答案自体からは作成者がどのパターンに沿って答案を作ったのか判別できないことも多いです。
このような細かい部分の個人差ってクローズアップされにくいですね。
それでは,それぞれについて詳しくみてみます。

(1)パターンは,まず生じ得るグラフのパターンを分類してしまう方針です。
「こんな図のときもあるな」「あんな図のときもあるな」という具合に,必要な図を列挙していって
それらの図を見ながらそれぞれの図のような状態が起こるための条件を書き出していくやり方です
パターンの数え漏れが無いように注意して下さい。
今の場合だと,下図の(ア)~(ウ)の3パターンが生じます。

このとき図としては縦軸は描かないのがコツです。
場合によっては横軸も省いちゃって構いません(下図では描いてますが)。
y の値の符号なども考慮しながら図を描くのは面倒だからです。

あとはそれぞれのパターンについて,グラフがそのような形状になるための(軸の)条件を挙げて
グラフから最小値を読み取ってしまえばそれでおしまいです~ kitune.gif

d8_20131214032635084.jpg
d9_20131214032636eec.jpg





次は(2)のパターンです。
軸の位置をだんだんスライドさせていく発想で場合分けをします kojika.gif
イメージとしては例えば下の図の竜巻のようなものですねー。
放物線ってなんとなく竜巻みたいな形してないっすか?
え?してないって?いや,してるってことにしましょうよ。
竜巻の中心軸が放物線の軸だと思いましょう。
一方で, 0≦x≦1 はすごい高いビルだと思いましょう。
放物線竜巻がだんだん左側から右側に向かって移動しているような状況を考えてみてください。

d10_20131214032637e06.jpg

d11_2013121403263714a.jpg

d12_20131214032638990.jpg



竜巻の軸がビルの左側にあるときと,ビルの左端と右端の間にあるときと,
ビルの右側にあるときとに分けて考えます~


d13_20131214032707a5d.jpg



(2)のパターンは, 0≦x≦1 を固定して,放物線が竜巻のようにスライドしていく考え方でしたが,
(3)のパターンは,放物線を固定して 0≦x≦1 の位置がスライドしていく考え方です。
もちろん本来は 0≦x≦1 は動いてなくて放物線の方が動いてるのですが,
軸を固定して考えると,相対的に 0≦x≦1 の位置がスライドしているように見えるわけです korobo.gif
その場合の答案も(1)や(2)パターンのところにあるものと基本的に同じような形になるかと思います。


最後は(4)のパターンです。
x の変域に制限が無ければ,問答無用で y の値は頂点のところで最小になるので,
変域に制限があるときも,もしも軸が x の変域に入っていれば当然そのときも最小値は頂点のところになります。
そして軸が変域に入ってないときは最小値が頂点以外の箇所で取ります。
そんなわけで, 0≦軸≦1 のときとそうでないときに分けてしまおうという着眼が出来ます。
軸が変域内に無い場合というのは2パターンに分けられます。

d14_2013121403270748f.jpg

  d15_201312140327080fb.jpg



まぁ,どんな着眼点であっても良いので,正しく分類できるようになってください~


さて,注意点として挙げなければならないことがまだ残っています~
場合分けの条件式に当たる不等式を立てるときに
「≦」でいくのか「<」でいくのかという問題がありますね。

(1)(2)(3)パターンについては, a=-3,0 の場合が(ア)~(ウ)の
少なくとも1つに含まれているのであればどのようにしても構いません m_0100.gif

(ア) a<-3   (イ) -3≦a<0   (ウ) a≧0
でもよいし,
(ア) a≦-3   (イ) -3<a≦0   (ウ) a>0
でもよいし,
(ア) a≦-3   (イ) -3≦a≦0   (ウ) a≧0
でもよいわけです~
a=-3 の場合はちょうど(ア)(イ)の境目になっていて,
どちらに含めても何も支障がないのです m_0103.gif
ただし,本当に支障がないかちゃんと吟味して下さい。
たとえば,A県とB県の県境に立っている人は,
A県に居ると言ってもいいしB県に居ると言ってもいいのと同じような状態です。

更には,
(ア) a<-3  (イ) a=-3 (ウ) -3<a<0 (エ) a=0  (オ) a>0
のようにしても構いません。

ただ,(4)パターンについては,
(ア) -3≦a≦0   (イa) a<-3   (イb) a>0
じゃないと具合が悪いですねー。
 
(ア) -3<a<0   (イa) a≦-3   (イb) a≧0
なんかにしてしまうと, a=-3,0 の場合が 0≦軸≦1 を
満たすはずなのに満たさない扱いをしてしまうことになってしまいます。
このように,不等号の選択を誤ると支障が生じることがあるので吟味は怠れないわけですね








次は最大値編ですよーー

最小値のときと同様に,(ア) a<-3   (イ) -3≦a<0   (ウ) a≧0
のように場合分けしたい気持ちが働く人は多いと思います。
それはそれで構わないのですが,ちょっと困ったことが起きます。
恐らく(ア)(ウ)あたりは問題なく済むと思うんですが,
(イ)で「・・・・あれ」ってなるはずなんですよね。

というのも,軸が 0≦x≦1 に含まれている場合,最大値が f(0) になるときと
f(1) になるときと両方起きちゃうんですよ。
これを回避するためには(イ)をさらに2つのパターンに分けないといけません m_0102.gif
ではどのように分けないといけないか。
それを把握するために,一旦,全体の場合分けの仕方そのものを変えてみることにしましょう。

a がどんな値であろうとも, y の最大値は f(0) か f(1) かのどちらかです
(いろいろな場合の図を描いて考えてみてください)。
よって,最大値が f(0) から f(1) へ切り替わる境目というのがポイントになりそうですよね。

ご存知のように,一般に2次関数のグラフである放物線は,軸に関して左右対称になっています。
よって軸の方程式が x=α であるときは, x=α+p における y の値と
x=α-p における y の値は等しくなっています。
そして, p<q であれば x=α±q における y の値は
x=α±p における y の値より大きくなっています。
つまり軸から離れれば離れるほど y の値が大きくなっていくということですね m_0243.gif


d16_20131214032709496.jpg



ということは, f(0) と f(1), どちらが大きいかの判断は, x=0 と x=1 の
どちらがより軸から離れているかによって
下すことができることになりますね~

x=0 と x=1 が軸とちょうど同じ距離だけ離れているのは,
軸が x=0,1 のちょうど真ん中である x=1/2 に一致しているときに限られるのは分かるでしょうか。
このときに限り, f(0)=f(1) が成り立ちます~
一方,軸が x=1/2 より右側にあれば x=1 の方が軸に近いので f(0)>f(1),
軸が x=1/2 より左側にあれば x=0 の方が軸に近いので f(0)<f(1)
 になります m_0245.gif


d17_20131214032709c0c.jpg


そんなわけで,最大値編では必要な場合分けは
(あ) 軸≦1/2    (い) 軸>1/2
の2つで済んでしまいます~

ただし,今回は最大値を求めるだけではなくて,それを与える x の値も聞かれているので,
(あ) 軸<1/2    (い) 軸>1/2    (う) 軸=1/2
の3つに分けちゃった方が分かりやすいかもしれません~
なぜなら,最大値を与える x の個数が(う)のときだけ2個になるからです~


d18_20131214032710e7f.jpg
d19_2013121403272979e.jpg
d20_20131214032730c52.jpg
d21_20131214032730af9.jpg


(ア) a<-3   (イ) -3≦a<0   (ウ) a≧0
で分けていたときは,(イ)を
(イa) -3≦a<-3/2    (イb) a=-3/2    (イc)-3/2<a<0
の3つに分けて考えると良いですね。
5つに場合分けして考えるのは,何かと作業も多いし答案の記述量も多くなるし大変です~
最小値編と最大値編に分けずに一緒に論じようとすると
この5つの場合分けに沿って,それぞれの場合について最小値と最大値を答えなければいけません m_0249.gif
不慣れなうちは恐らく頭が混乱してしまいます。
最小値編と最大値編に分けた方がいいと推奨する理由が少しは分かって頂けたでしょうか~。


ちなみに,
(あ) 軸<1/2    (い) 軸>1/2    (う) 軸=1/2
の部分は,
(あ) f(0)<f(1)    (い) f(0)>f(1)    (う) f(0)=f(1)
で条件式を立てても構いません

d22_20131214032731de4.jpg






最大・最小に関する定番出題パターンはまだまだあります~
残りは次回に回しましょう~~ nakioni.gif






   
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