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2次関数の最大・最小の問題 その2

2013.12.17 12:47|数学
どもども。

前回の続きで,2次関数の最大・最小に関する定番問題についてまとめていきましょう~ くりmini



 パターン4:変域の上限が文字定数を含んでいる場合

パターン3は,関数が変動して変域は変動しない場合でしたが,
その逆で,関数は変動せずに変域のほうが変動するという設定の問題も多いです。

そこでまずは,変域の上限または下限の一方が変動するパターンから見てみましょう~

e20_20131217020012d1d.jpg


0≦x≦a という変域のもとで与えられた2次関数の最大値と最小値を考える問題です~

関数は動かないので,グラフも動きません。
x の変域の下限も常に0なので動きません。
上限のみが変動します。下の図でいうと赤線部分が考察の対象なのですが
a の値が大きくなるにつれて,赤線部分はどんどん右に伸びていくわけです~

今回も場合分けをしながら解いていかなければいけないので
パターン3と同様で,最小値編と最大値編に分けて議論するのがオススメです。

それでは,最小値編からいきましょう~
場合分けの着眼点としては,前回と同様で,図の形から分類してもいいですし,
軸の位置を主体として変域の右端をスライドさせていってもいいですし,
0≦x≦a を主体として軸の位置を相対的にスライドさせていってもいいですし,
軸が 0≦x≦a に含まれるかどうかで場合分けても構いません~
いずれにせよ,パターン3と一緒で「軸が変域に含まれるかどうか」が一番のキーポイントです。
これはこの後のパターン5,6,7などでも同じことが言えます。
今は動くのが変域なので,「変域の右端 x=a が軸より先まで伸びるか伸びないか」と捉えても構いません kudan.gif


e1_20131217015737cff.jpg


次は最大値編です~
最大値は変域の端点における値である f(0) と f(a) のどちらかです~
「軸から離れてるほうが最大値」という基本姿勢はパターン3と一緒です。
そして,それを場合分けする手段として「変域の中間点 x=a/2 の位置が軸より左か右か」に着目する
というのも一緒です~ ladybug.gif

放物線の軸は x=1 で固定されているので, x=a/2 が x=1 より左にあれば,
より軸から離れている f(0) の方が大きく, x=1 より右にあれば f(a) の方が
大きいというわけです。 x=a/2 が x=1 と一致しているときは両端点で最大です~

e2_201312170157387d5.jpg


f(0)=f(a) となるところが場合分けの境目であるという発想もありました。
変域の右端だけが動く場合は, a の値のスライド方式で
f(a) が f(0) と同じ高さのところになるとき( a=2 )より前か後かで
場合分けするというやり方はなかなか簡明でよいです kaeru_yodare1.gif
高さが同じになるのが a=2 のときであることは図の対称性に着目すれば計算なしで
分かることなので,わざわざ方程式 f(0)=f(a) を解く必要はありません~

e3_20131217015738ff8.jpg


 パターン5:変域の上限も下限も文字定数を含んでいる場合

今度は変域の上限・下限に関して,両方が動く場合の問題を考えてみましょう~

e21_20131217020012b40.jpg


最小値編と最大値編に分けて答案を作るのは今回も同じです~
最小値編のキーポイントは「軸が変域に含まれるか」
最大値編のキーポイントは「変域の中間点が軸より左にあるか右にあるか」

ですよ~ dog02.gif

e4_20131217015739bdb.jpg

   e5_2013121701574030a.jpg


途中に出てきた(イ)の場合の条件式 a≦1<a+1 を整理して 0<a≦1 にするという作業が
難しくて出来ないという人がなにげに多いです。
A<B<C 型の不等式の変形は,各辺に同じ数を足したり掛けたりすることの他に
A<B と B<C に分けてそれぞれを変形してそれらの結果の共通部分を求める
という処理の仕方もあります~
今の場合だと, a≦1<a+1 の各辺から a+1 を引いてから各辺を -1 倍するか,
あるいは a≦1 と 1<a+1 に分けてしまって
a≦1 かつ 0<a すなわち 0<a≦1 とまとめるかすれば良いですね~
後者の方が簡単ですね~

e6_201312170157415c6.jpg


 パターン6:関数と変域の両方が文字定数を含んでいる場合

今度は関数と変域の両方が変動する場合の問題を考えてみましょう~

e22.jpg


いきなりこんなのが出題されると,すごく煩雑そうで解きたい気持ちが湧きにくいですね。
だけれども,パターン3,4,5とやってきた流れの後である今なら,
思いのほか苦戦しないで済むかもしれません~ dog_love.gif


e7_20131217015816a7a.jpg

e8_20131217015817b19.jpg

最大値の方も今までと同様に処理できます~

e9_20131217015818cf1.jpg

 パターン7:x^2の係数が文字を含んでいる場合

パターン3~6においてちょっと厄介な場合があります。
x^2 の係数が文字を含んでしまっている場合です~

なぜ厄介なのかというと, x^2 の係数が正か負か0かによって
グラフの概形が変わってしまう
からです dog_angry.gif
正のときは下に凸の放物線,負のときは上に凸の放物線です。
0のときは2次関数ではなくなってしまいますね。
1次関数かあるいは定数関数になってしまうのでグラフは直線です。


e23.jpg



この問題では, a>0 のとき, a<0 のとき, a=0 のときの
3つに分けて議論をすることになります~
それぞれにおいて,軸の位置で場合分けなどしながら最小値と最大値を論じていかなければなりません。
ただし,それぞれのパターンで a の符号の制限があるので
生じる図のパターンが限定されることがしばしばあります。
たとえば, a>0 のときは軸の位置が常に x<0 の部分にあるので
必然的に 0≦x≦1 では f(x) は常に単調増加になってしまいます~
このときは軸が 0≦x≦1 に含まれている場合などは決して起こらないので,
わざわざ場合分けの1つとして入れたとしても「軸の位置から不適」となってしまいます。
不要な場合分けを省いていくことは,記述量が減るという点で答案作成のコツの1つになるかもしれません
省ける手間は省きながら考察を進めていきましょ~




e10_2013121701581970c.jpg
e11_201312170158209b0.jpg

  e12_20131217015820d5b.jpg
e13_20131217015852b1d.jpg

e14_20131217015853aec.jpg



 パターン8:関数が絶対値を含んでいる場合

次は関数の式が絶対値を含んでいる場合を考えてみましょう。
絶対値を含んだ時点で通常の意味での2次関数ではなくなってしまっているんですけど
2次関数の単元からの出題に含まれるものなので取り挙げてみましょう~

e24.jpg


この関数のグラフは2次関数 y=(x-1)(x-3) のグラフのうち
x 軸より下の部分を上にひっくり返してできる曲線になってます~ wahakapa.gif


e15_201312170158533b5.jpg


下に凸の部分と上に凸の部分と両方あるので,考察がなかなかややこしいことになります。
最小値編も最大値編もとりあえず7つずつのパターンに分類できました~

こうして7つくらい図を並べてみると
なんだか赤線部分が y=f(x) のグラフの形をしたレールを走る
ジェットコースターみたいに見えてきますね

e16_20131217015854842.jpg


e17_20131217015855826.jpg



最大値の方も同様になります。
左端と右端の高さが等しくなる点の計算が面倒ですね~ woolcap.gif



e18_20131217015856956.jpg


e19_20131217020011882.jpg






2次関数の単元に出てくる最大値・最小値関連の基本問題のパターンはもうちょっと
残されているので次回も続きをやっていきましょう~~ rabi_happy.gif




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