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2次関数の最大・最小の問題 その3

2013.12.18 17:05|数学
どもども。


今回も前回の続きです~~


2次関数の最大・最小に関する基本問題についてまとめていきましょう~~ 81772681-5429-43AA-86F3-CE1D54407314.gif

 パターン9:「2次関数の最小値」の最小値を求める等の場合

一般に,係数に文字定数 a を含んだ2次関数についてはその最小値や最大値が a の値ごとに
変わっていきます。これはつまり,「f(x)の最小値」や「f(x)の最大値」が
今度は a を変数とする関数になっているとみなせるということですよ~ kinoko02(1).gif

f10_20131219215348ddd.jpg


この問題では,はじめは x の関数 f(x) の最小値を毎度のように平方完成して求めます。
そこで出てきた最小値 m は,今度は x の関数ではなく a の関数とみなせるわけです。
a の値ごとに f(x) の最小値が変わっていくので, a がどんな値のときにその最小値は
一番小さくなりますか?
ということを尋ねている問題ですよ~

この類の問題は,最初に学校で習うときは問題文の意味が分からなくて
ちんぷんかんぷんになってしまう人も恐らく多いと思います~
最小値の最小値とか,最小値の最大値とか,一体何を言ってるのか!さっぱりわからん!!
と思うことでしょう~

関数が出てきたら「何が変数なのか」を見失わないことがとても重要です
「変数= x 」という固定観念が根付いてしまっていると,まず「変数が a だ」ということが
理解できずに苦しむことになるかと思います~
まして「 a は定数」と書いてあるのだから,なぜ定数が変数なんだ!?
と,さらに混乱するでしょう。
「ある量▲の値に対応して,ある量●の値が1つ決まる」ことが「●が▲の関数」である
ことの基本だということを見失わないようにしましょう~ katudon.gif


f1_20131219215231ae6.jpg


 パターン10:2変数関数の場合

2次式は2次式でも,変数の数が2個以上あるというパターンが有ります~
ここでは変数2個のバージョンを1つ例として挙げてみましょう~

f11_20131219215349a56.jpg

2変数関数なんてよく分からないよう~~
と思うかもしれませんが,2つの変数を一緒に動かそうとするから難しいのであって
ポイントは1つずつ変数を動かすということです~ jitensya02.gif

つまり一旦 y=a という定数に固定してしまいます。
y=a のとき f(x,y) は f(x,a) という1変数関数になってしまいますね。
これは日頃から扱い慣れている1変数の2次関数ですので,
その最小値 m(a) を求めることは簡単です。 

この最小値 m(a) は今度は a の関数になっています。
そこで a を実数全体で動かしたときの m(a) の最小値を求めれば
それが x,y 両方を動かしたときの f(x,y) の最小値になっているというわけです hanaji03.gif

なんだかさっきのパターン9に似ているとは思いませんか?
実はやってることは実質的に同じことなんです。
例題の問題文自体もよく見るとパターン9の問題の関数とそっくりです。
a を y に換えたものが今回の例題の関数になっていますね。

面白いもので,パターン9の問題だと解けるのにパターン10の問題だと
解けなくなってしまう人が多いんですよ~
a が y になっただけなのに先入観によって難易度が変わってしまうという現象が起きるのです~ ga-n01.gif


f2_20131219215232a94.jpg

この理屈に慣れてくると以下のように平方完成を2回行ってスパッと
最小値を求めてしまって構いません~
A,Bが実数ならば A^2+B^2=0 ⇔ A=B=0 であることが根拠になっていますが
平方完成する項を2つ作るという発想の源ははじめに挙げた解法の理屈にあるといえます。

f3_20131219215233b38.jpg


先に y の値を固定して解きましたが,逆に x の値を先に固定しても構いません。
複数の変数がある場合,どの文字を先に固定するかの選択によって
計算の大変さが変わってくる場合がしばしばあります fuurin03.gif
うまく楽に計算できる選択をしたいところですね~
この問題では恐らく先に y の値を固定するほうが楽なんじゃないかなーという気がします。

f4_20131219215234af8.jpg


 パターン11:変数の置き換えをすると2次関数に帰着する場合

変数の置き換えパターン,これは非常によく出てきます。
三角関数,指数・対数関数など多くの別の単元の応用問題でも頻出ですね。

f12_201312192153503fe.jpg


何かの固まりを新しい文字で置き換えると2次関数などの扱いやすい関数に帰着する
というタイプの問題なのですが,このタイプの問題でとても気を付けなければいけないことは
新しい変数の変域が実数全体とは限らないということです~
はじめに新変数の動ける範囲を求めておくことが大事ですよ~ hana-ani01.gif

この例題では t=x^2-1 と置き換えることによって
元々4次関数である f(x) が t の2次関数 g(t)=t^2+2t+5 に置き換わるため
最小値が求めやすくなるという流れなのですが,
t=x^2-1 は x の関数とみなせてその値域は t≧-1 になっています。
このため, t≧-1 という条件下で g(t) の最小値を求めなければいけません crown04.gif



f5_20131219215234ecc.jpg

変数置き換えタイプの問題は一般に変数を置き換えてしまったほうが解きやすいのですが
実は今の例題においては,素直に展開して整理すると f(x)=x^4+4 になっていて
最小値4が直ちに得られます。
もしかしたらこんな意地悪な問題がどこかで出てくるかもしれませんね~
策士策に溺れるという目に遭わないようにしたいです~



 パターン12:最大値や最小値が与えられていて係数などを求める問題の場合

関数の係数に文字定数が含まれている関数の最大値や最小値を場合分けしながら解く,
それは前回色々やってきました。
似たパターンとして,最大値や最小値の具体的な値を与えて,それを満たすように
係数の文字定数を定めるという問題があります~ densya.gif


f13_20131219215430fde.jpg


どのように対処すればよいかというと,まずは前回やったみたいに
a の値の範囲で場合分けしながら f(x) の 0≦x≦3 における最大値 M(a) を
求めてしまいます。
そして方程式 M(a)=4 を解けばいいというわけです~
方程式 M(a)=4 の解が,仮定している a の範囲にちゃんと含まれているかどうかの吟味は
忘れないようにしましょう~~ tentou03.gif


f6_20131219215235c02.jpg

f7_20131219215346c62.jpg




最大値や最小値に関する不等式が与えられる問題もあります~~

f14_20131219215431add.jpg


方程式が不等式になっただけなので M(a)≦4 を解いていけばいいだけですね~
もちろん a の範囲による吟味も忘れないようにして下さい~ aicon431.gif


f8_20131219215347d28.jpg


グラフを使って考えることで作業が軽減されることも多いので
そういうアイデアも覚えておきたいところです~

f9_20131219215348e27.jpg






さて,今回はここまでにして
次回は2次関数の最大・最小関係のまとめのラストとして
条件式付きの2変数関数の最大値や最小値を求める問題について触れます~ aicon433.gif






     
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