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2012年東北大入試(後期)理系数学第5問その4

2012.09.02 00:00|大学入試問題
どもども~

今回も前回の続きです~suika.gif

問題はこちら箱ドットおにおん2mini
m5

前々々回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-12.html
前々回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-13.html
前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-14.html


(3)の別解についてもうちょっとだけ考えてみます~sosu.gif

問題文で与えられたθは,ぐるっと1周分の角度2πの7等分したものの1つ分でしたので
正七角形に関係があるわけですね~dog_love.gif

7kaku.jpg

ちょっと図形的な目線で見てみることにしますdog05.gif

ベクトルaのことを(→a)という記号で表すことにしますね。
A=α+α^2+α^4というのは(→OA_1)+(→OA_2)+(→OA_4)が表す点に対応する複素数です。
B=β+β^2+β^4=α^6+α^5+α^3は(→OA_6)+(→OA_5)+(→OA_3)が表す点に対応する複素数です。

A+Bは(→OA_1)+(→OA_2)+(→OA_3)+(→OA_4)+(→OA_5)+(→OA_6)が表す点に対応する複素数です。

さて,ここでαとα^6,α^2とα^5,α^3とα^4はそれぞれ共役複素数同士の組です。
上の図でいうとちょうど実軸を挟んで位置が対称的になっているんですねkatudon.gif


だから,α+α^6,α^2+α^5,α^3+α^4が表す点はすべて実軸上にあります。
ベクトル的にいうと,
{(→OA_1)+(→OA_6)}+{(→OA_2)+(→OA_5)}+{(→OA_3)+(→OA_4)}=k(→OA_0) 
の形で書けるということですね~densya.gif

正多角形の対称性に着目して,今度は直線OA_6を対称軸にして考えてみましょう。
すると今度は,
{(→OA_0)+(→OA_5)}+{(→OA_1)+(→OA_4)}+{(→OA_2)+(→OA_3)}=ℓ(→OA_6) 
という形の関係式が得られます(対称性から本当はk=ℓまでいえますな)

k6_20120831104829.jpg

この2式を使うとk=ℓ=-1であることがわかり,それを用いてA+Bを求めることができます~oden.gif


k7.jpg


次はAB=|A|^2についてです~ny_hatsuhinode.gif
A=α+α^2+α^4でしたね。それが表す点は下の図の点Qになります~

k8.jpg

この図でいうところのOQ^2を求めればいいわけです。
△OPQで余弦定理を使う作戦でいってみます。
その際,前回求めたcos(2π/7)が満たす関係式を利用しますPudding.gif


k9.jpg

k10.jpg


という風に求められました。
せっかく幾何的にいくのなら,もっと初等的に三角関数とか使わないで解きたいのですが,
まだちょっと閃かないので,何かいいやり方がある人は是非教えてくださいませませ~~もなたん算数mini



何かヒントになるようなこと無いかな~と思って正七角形について検索してたら
たまたま次のような面白い性質があることを知りました~yotuba11.gif

今の問題とはあまり関係ないですが,まぁ余談までに~wink02.gif



1 1

正七角形の辺と対角線の長さを図のようにa,b,cとおくと,1/a=1/b+1/c
が成り立ちます

【証明だおん】
下の図のような四角形PQRSを考えるよ~

1.jpeg

∠RQS=∠RPS=π/7より,この四角形は円に内接する四角形である~
トレミーの定理より
PQ・RS+QR・SP=PR・QSが成り立つ。
すなわち b・a+a・c=c・b
コレを変形すれば,1/a=1/b+1/cが得られるのじゃ!(完)

えらい単純に証明できちゃうんですけど,三角関数とか使うと和積とか積和とか出てきて面倒くさいようです

同じように今回の問題も絶妙な補助線とか引いてキレイに解決できたらいい,
というか出来るような気もするんですが~




まぁ,そんなこんなで次回は(4)をやっつけてしまいましょう~
     
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テーマ:算数・数学の学習
ジャンル:学校・教育

タグ:東北大 入試 数学 受験 ド・モアブルの定理 正七角形 極形式 余弦定理 加法定理 三角関数

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