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2次関数の最大・最小の問題 その4

2013.12.20 17:26|数学
どもども。


今回も2次関数の最大・最小に関する基本問題の整理の続きをやっていきましょう~


今回は条件式付きの2変数関数の最大・最小関係を取り扱います~~
x,y に関する条件式が1つ与えられることによって,
2変数関数 f(x,y) は実質的に1変数の関数になります。
その関数の最大値や最小値を考えていこうという趣旨の問題ですね~

 パターン13:条件式が1次式,関数が2次式の場合

g28.jpg



 方針1: y を消去して x の2次方程式の実数解の存在条件に帰着させる

x^2+y^2=k とおいてみましょう~
k の取り得る値の最小値を求めたいわけです heri01.gif

k_0 が k の取り得る値の範囲に含まれているということは
α^2+β^2=k_0 が成り立つような (x,y)=(α,β) が存在するということです。
しかも今は x+y=1 という付加条件があるので, α+β=1 も満たしていなければいけません。 

x+y=1…① と x^2+y^2=k…② を同時に満たす実数 x,y の組 (x,y) が
存在するような k の値の範囲を求めよう
という発想に至りますね hana-ani01.gif

言い方を変えると, k がどんな値だったら連立方程式 x+y=1…① と x^2+y^2=k…② は
解 (x,y) を持ちますか?
 という視点で考えます。

 
連立方程式を解く手法としては,1つの文字を消去するというのは基本だと思います。
y を消去して x だけの方程式に直してみましょう~

まずはその x の方程式が実数解を持つことが必要ですよね。
逆に,その x の方程式が実数解 x=α を持ったならば, y=1-α とおくことによって
①と②を同時に満たす (x,y)=(α,1-α) が得られます~
したがって,①,②を同時に満たす実数 x,y が存在することと,
 y を消去した x の方程式が実数解を持つことが今回は同値
だということが分かりました~ hakari.gif

というわけで, x の方程式の判別式≧0 によって k の取り得る値の範囲が得られます~


g1_2013122000405172c.jpg

g2_20131220004052620.jpg



 方針2: k(x)=x^2+{y(x)}^2 を x の関数とみなす

y=1-x なので, y は x の関数とみなすことが出来ます。
k=x^2+y^2 とおくのは先程と同じですが,今度は右辺を x の関数とみなして
k(x)=x^2+{y(x)}^2 の最小値を求めてみましょう~ mushi.gif


g3_2013122000405318e.jpg

k を x の関数とみなして考えてみようという発想は,なかなか分かりやすいので
恐らくこの解法で解く人は多いだろうなぁとは思うのです。
最大値とか最小値を聞かれてるのに,方針1のように方程式の解の存在条件とかを考えるのは
初見の人からすればやや発展的な発想になるはずですからね
素直に関数の最大・最小と対応させたほうが分かりやすいのは尤もです。
ただし,この解法しか知らない,では困ってしまうことがあります。
k を x の関数で表示したときに無理関数などが出てきてしまうと,
素直に増減を調べようと思ったら数Ⅲあたりの知識が必要になって大変です。
そのような場合がパターン15で出てきます~




 方針3: x,y を解に持つ t の2次方程式を作って,それが実数解を持つ条件を求める

方針1と同様に x+y=1…① と x^2+y^2=k…② とおくのですが,
この2本の式から xy=(1-k)/2…③ という新たな式を作ります~
元々①,②で与えられていた連立方程式は,①,③の2本に替えてしまっても同値性が崩れません Mushroom03.gif

①,③というのは x,y の和と積を与えています。
解と係数の関係から, x と y を解に持つ t の2次方程式が作れますね。
これは係数に k を含んだ方程式です。
この方程式が実数解を持つようにすればいいというわけです~

g4_20131220004053ee0.jpg

g5_201312200040545a1.jpg


 方針4:円と直線の共有点の有無の話に帰着させる

2次関数の単元の枠から飛びだして,座標平面上のグラフを使った発想で解いてしまうことも出来ますね。
直線 x+y=1…① と円 x^2+y^2=k…② (k>0) を考えます。
①と②を同時に満たす点 (x,y) とは直線①と円②の交点です。
したがって,交点が存在するような k の範囲を考え,その下限が求める最小値です hamu01.gif

円②は原点を中心とする半径 √k の円です。
円②が直線①に接するときが下限で,それより半径が小さいときは交点が0,
それより半径が大きいときは交点が2個になりますね。

g6_20131220004054db4.jpg


座標平面上の図形を使った解釈としては,直線 x+y=1 上の点 P(x,y) を取り,
線分OPの長さが √(x^2+y^2) であることから,OPの最小値,すなわち原点と直線①の
距離を求める,なんていう発想も出来ます



 パターン14:条件式が1次式,関数が2次式で,更に変域の制限がつく場合

g29.jpg

先程の問題に, x≧0, y≧0 という条件をさらに追加しました。
このとき,今度は x^2+y^2 の最大値を考えることにします~

パターン13の方針1~4と同様に考えてみましょう~

 方針1: y を消去して x の2次方程式の実数解の存在条件に帰着させる


x≧0, y≧0 の条件があるため, x+y=1 を満たすような x,y の中で
0≦x≦1, 0≦y≦1 であるものだけが考察対象です。

y を消去してできる2次方程式が 0≦x≦1 の範囲に実数解を持つことが
x+y=1…① と x^2+y^2=k…② を同時に満たす x≧0, y≧0 の x,y が
存在することと同値になります~ hachi03.gif

g7_20131220035806841.jpg

g8_20131220004123501.jpg

グラフの軸が x=1/2 で,グラフが軸に関して左右対称であることから
f(1/2) と f(0) に関する条件だけで事足りていますね。




 方針2: k(x)=x^2+{y(x)}^2 を x の関数とみなす


k(x)=x^2+{y(x)}^2 という関数の最大値を考察する方針では
0≦x≦1 という変域の下で k(x) の最大値を求めなければならないことが
注意点として挙げられます


g9_201312200041243cd.jpg



 方針3: x,y を解に持つ t の2次方程式を作って,それが実数解を持つ条件を求める

x,y を解に持つ方程式を作って,それが重複度も含めて2個の非負の実数解を持つように設定すればOKです~ aomushi02.gif


g10_2013122000412470a.jpg

   g11_20131220004125c16.jpg

 方針4:円と直線の共有点の有無の話に帰着させる

x≧0, y≧0 の条件があるので直線 x+y=1 のうち,第1象限にある部分の線分(端点含む)
と円 x^2+y^2=k が交点を持つような k を考えればよいです~

半径1の円より大きくなってしまったら交点を持たなくなりますね。

g12_201312200041266e3.jpg


 パターン15:条件式が2次式,関数が1次式の場合


g30.jpg

次は条件式のほうが2次式で関数のほうが1次である場合を考えてみましょう~

これもさっきまでの方針1~4を参考にして解いてみます~


 方針1: y を消去して x の2次方程式の実数解の存在条件に帰着させる


3x-4y=k とおきます。 k の範囲を出したいわけですね。
y=(3x-k)/4 と変形して x^2+y^2=1 に代入すれば 
y を含まない x の2次方程式が得られます。


x^2+y^2=1 の条件が与えられた時点で x,y の値には
-1≦x≦1, -1≦y≦1 という制約がつきます。
このため, y を消去した x の方程式がただ実数解を持てばよいのではなく,
-1≦x≦1 の範囲に含まれる実数解を持たなければならないことになります~ hunayurei.gif

幸いにも,出てくる x の方程式が x^2+(y(x))^2=1 の形をしているため
この形の方程式が実数解を持つなら自動的に解は -1≦x≦1 を満たします。
そこで,判別式≧0の条件だけで今回は事足ります。
(注:毎回 判別式≧0 の条件だけで今回は事足りるわけではありません。
例えば x^2+y^2=1, y^2=-x-11 という2式の場合だと, y を消去して
x^2-x-11=1 すなわち (x+3)(x-4)=0 が得られます。この方程式の解は
x=-3,4 で,どちらも -1≦x≦1 に含まれません。またパターン16の例題でも
判別式だけでは事足りない例を扱います)

g13_20131220004156eff.jpg
g14_20131220004157492.jpg

g15_20131220004158e7d.jpg


 方針2: k(x)=3x-4y(x) を x の関数とみなす

パターン13,14の方針2のように x の関数 k(x) の増減を考えるという発想で
攻めようとすると今度は無理関数が出てきてしまいます~

微分して増減を調べることは出来ますが労力がかかりますし,
2次関数の単元を習いたての人には無理関数の微分なんて言われてもさっぱり分からないでしょう。
というわけでこのパターン15のタイプでは k を x の関数とみなす作戦はあまりオススメではありません
なお, y を消去することで得られる曲線は楕円です。
 

g16_2013122000415849a.jpg


2次関数の単元の問題を無理関数の問題という難しいものに替えてしまったから
話がややこしくなってしまったわけですが,
見方を変えると,逆に無理関数の最大・最小を扱う問題が出されたときに
それを2次関数の単元の話に還元してしまう
という作戦が使えることがあるということが言えます hamster_2.gif

そんな話もこの項の教訓として推しておきたいところでございます~






 方針3: 25y,7y-24x を解に持つ t の2次方程式を作って,それが実数解を持つ条件を求める

パターン13,14では, x+y と xy の値が容易に得られたために
x,y を解に持つ t の2次方程式を考えました。
今回の例題では, 3x-4y=k という関係式が与えられています。
3x・(-4y) の値が容易に得られるならば, 3x と -4y を解に持つ
t の2次方程式を考えるという作戦でいけると思います。

ただ,今回はもう1本の式が x^2+y^2=1 なので,係数の相性があまり良くないんですよね。
9x^2+16y^2=1 だったら相性が良かったのですが~。
x^2+y^2=1 だったらどのように相性が悪いのかというと,
3x-4y=k の両辺を2乗して x^2 と y^2 を消去しようと思っても
片方が残ってしまうからなのですー。
そういうわけで,今の例題ではこの方針の解法もあまりオススメではないといえます

とは言っても,ちょいと工夫をすれば x,y 関係の値を解に持つ
t の2次方程式を作ることは出来ます。
……やや強引ではありますが。

(3x-4y)^2=k^2 を整理して x^2 を消去すると
7y^2-24xy=k^2-9 が得られます。
y(7y-24x)=k^2-9 の形にしてみましょう。
何だかよく分かんないけど積の形の式が得られました。
でも, y+(7y-24x)=8(y-3x) の値が分かってないと使い物になりません。
分かっているのは 3x-4y の値なので,この値を活用できる工夫を考えたいです。
25y+(7y-24x)=-8(3x-4y)=-8k に着目してみましょう。
25y(7y-24x)=25(k^2-9) なので,
25y と 7y-24x の和と積が与えられました

この2数を解に持つ t の2次方程式を作ることが出来ますね。
その方程式が実数解のみを持つように設定すれば
何かしらの実数の組 (25y,7y-24x)=(α,β) が得られるでしょう。
これを x,y の連立方程式とみなして実数 x,y の値が得られるので
結局のところ今得られた t の2次方程式の判別式≧0の条件で k の値の範囲が得られることになります。

g17_20131220004159d6e.jpg



 方針4:円と直線の共有点の有無の話に帰着させる

次は円と直線が交点を持つような条件を考える解法パターンです。
図形と方程式の単元まで習っちゃうと恐らくこの例題の解答として一番多くの人が選ぶのが
この解法じゃないかなあーという気がします。
パターン13,14とは違って今度は直線が動きますよー。
3x-4y=k すなわち y=(3/4)x-(k/4) という直線の
y 切片が -(k/4) であることに着目すると,この形で書ける直線のうち
円 x^2+y^2=1 と接するようなものが2本ありますが
上側にある方に対応する k が最小値で,下側に対応する k が最大値なわけです~ eto_ushi.gif


g18_20131220004200c96.jpg


 方針5:内積の最大・最小を考える(コーシー・シュワルツの不等式を使う)

この例題についてはもう1つ方針を挙げておきます。
3x-4y を2つのべクトル (→a)=(3,-4) と (→b)=(x,y) の
内積とみなす
発想です dog_happy.gif
条件式 x^2+y^2=1 は (→b) が単位ベクトルであることを意味しています。
一方, (→a) の大きさは5なので, (→a) と (→b) のなす角を θ とおくと
3x-4y=(→a)・(→b)=5cosθ と書けますね。
cosθ=-1 のときにこの値は最小, cosθ=1 のときに最大になることは明瞭です。
どちらの場合も (→b) が (→a) と平行になっている場合ですね~

ベクトルをよく知らない人でも,コーシー・シュワルツの不等式を使った解法だと思えば
これと同等の答案が作れますよ~ kaeru_en4.gif


g19_20131220004226606.jpg




 パターン16:条件式が2次式,関数が2次式の場合

g31.jpg


最後に条件式も関数もどっちも2次式の例題をやってみましょう~


 方針1: y を消去して x の2次方程式の実数解の存在条件に帰着させる

x^2+y^2=1…①,2x^2-y^2=k…② はどちらも2次式で, 
y^2 を消去することによって 3x^2-k-1=0 という方程式になってしまいます。
これがただ実数解を持つだけではダメで,その解が -1≦x≦1 を満たすものでなければ
ならないのです~
パターン15の例題と違って判別式≧0だけでは条件が事足りません。

g20.jpg
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 方針2: k(x)=2x^2-{y(x)}^2 を x の関数とみなす

パターン15のときと違って,今度は k(x)=3x^2-1 という
とてもシンプルな関数が出てくるので考察は容易いです。
ただし,変数 x の変域は -1≦x≦1 に制限されていることを忘れないようにして下さい~


g22.jpg



 方針3: x^2,y^2 を解に持つ t の2次方程式を作って,それが2個の非負の実数解を持つ条件を求める

t の2次方程式を作ろう編です~

今回の例題では x,y の1次の項が出てこないので
x^2+y^2=1…①,2x^2-y^2=k…② から x^2,y^2 について解くことが簡単に出来ます kaeru_en1.gif

x^2,y^2 に関する和と積が k の式で表されてしまうので
x^2,y^2 を2解に持つ t の2次方程式を作ることが出来ます~
x^2≧0,y^2≧0 なので,得られた t の方程式の解が非負にならないように設定すれば
k の値の範囲が得られます~


g27.jpg

g24.jpg


ただ, t の2次方程式を作る前からそもそも x^2,y^2 について解けてしまっているので
直接 x^2,y^2 の値から k の範囲を考察するほうが早いです mug.gif
目の前に橋が架かっているのにそれを無視して遠回りしてわざわざ別の橋を渡るようなことを実はしています。
t の2次方程式を使って論じるのは,2解の具体的な値が得られていないときにこそ
やってみる価値があります。


g23.jpg

g24.jpg



 方針4:円と2次曲線の共有点の有無の話に帰着させる


グラフの交点の話に帰着させる解法です~
今回は 2x^2-y^2=k という2次曲線 と円の共有点について考察しなければいけません。

この2次曲線, k の符号によって概形が変わってきます risu.gif
ややこしそうですね~
k≠0 のときは双曲線なのですが k が正か負かによって曲線の向きが変わります。
k=0 のときは円でも楕円でも放物線でも双曲線でもなく,2直線になります。

2次曲線の扱いに慣れていないと,何だかめんどくさそうですね。
でも冷静に眺めてみると決してそんなに大変な計算をしているわけでもないです。


g25.jpg
g26.jpg
g24.jpg











そんなわけで,ベタなタイプについて色々まとめてきました。
更に細かな分類なんかも出来そうですがだいぶ長くなったので
今回はこれくらいにしておきましょう~ rokuro.gif

各問題について,様々な解法がありました。
問題のタイプによってどんな解法を選べば効率が良いかというのが変わってくることも
窺えたのではないでしょうか~
よって複数の解法を知っておくとなかなか都合が良いと言えます



それでは次回からは気分を変えて今年のセンターの追試を取り扱っていきます~






   
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