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2013年センター試験 追試 数学ⅠA 第2問

2013.12.29 23:26|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター追試数学ⅠAの第2問です~


問題はこの辺りなどから~ 箱ドットおにおん2mini
http://www.dnc.ac.jp/modules/file/index.php?page=visit&cid=96&lid=1853


2次関数の問題です~

文字定数 b を係数に含んだ2次関数 y=x^2-2bx-(4/3)b+5/9
がはじめに与えられています。これを f(x) とおいておきましょう。

y=f(x) のグラフを対称移動したり平行移動したり
f(x) の最小値を求めたり2次方程式の解の配置を考えたり
2次関数の単元の基本定番問題のフルコースといった内容になっています~ hanaji02.gif
何やら忙しそうな問題という印象を持つかもしれないですが
どこかで部分的に躓いてしまっても後の解答にそれほど影響を及ぼさないという点では
むしろやりやすい問題という見方も出来るかもしれません。
また,はじめから考察対象の2次関数の式が与えられているので
本試の問題よりもやりやすいかもしれないです
(本試の問題では考察対象の2次関数の式を自分で求めなければいけませんでした
 http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-77.html)。


まずは頂点の座標が要求されているのでちゃちゃっと求めておきましょう~
というか,仮に要求されていなかったとしても求めておきましょう~ hana13.gif


h1_20131229222154e3d.jpg



さて, y=f(x) のグラフを原点に関して対称移動させたものが
y=ax^2-2x+c のグラフと一致するのはどんなときかを尋ねられていますね。

y=f(x) のグラフを原点に関して対称移動したものは 
関数 y=-f(-x) のグラフになります。


-f(-x)=ax^2-2x+c が恒等式になるように
係数比較をしてやると良いです~ hana14.gif


h2_2013122922215426c.jpg




次の設問は b=1 のときの y=f(x) のグラフが,関数 y=x(x+4) のグラフを
平行移動したものに一致するように設定する問題です~

y=x(x+4)=x^2+4x のグラフを x 軸方向に s , y 軸方向に t だけ
平行移動すると,関数 y=(x-s)^2+4(x-s)+t のグラフになります。
これが y=f(x) と一致するように係数比較をやってあげましょう~ hana-ani01.gif


h4_2013122922215780b.jpg


係数比較で解くほかには,頂点がどれくらい移動するかに着目する方法もありますよ~ Mushroom01.gif


h3_201312292221563ec.jpg




次は 0≦x≦1 における f(x) の最小値 m に関する問題です~
b の値によって m は変わるので, m は b の関数になります。
y=f(x) のグラフの軸が 0≦x≦1 に含まれるかどうかで
m を表す式も変わってきます mushi.gif

2次関数の最大・最小に関する基本問題のまとめは過去の記事などを参照~

h5_20131229222157432.jpg





いま求めた m(b) の式を参考にして m(b)<0 となる
b の範囲を求めるのが次の設問ですよ~

ベタな解法パターンは2つほどあります~
1つ目は, b<0, 0≦b≦1, b>1 の3つの場合に分けて
それぞれにおいて不等式 m(b)<0 を解く
というものです hamu01.gif


h6_20131229222158d04.jpg

h7_20131229222231619.jpg


第2の解法としては, yb 平面に y=m(b) のグラフを描いて
直線 y=0 より下になる部分を読み取る
ものです hachi03.gif
観察してみると関数 m(b) は単調減少になっていることが分かるので
グラフと b 軸との交点の座標が分かってしまえば勝利です~


h8_20131229222231920.jpg


最後は,2次方程式の解の配置問題に相当する設問です~

y=f(x) のグラフが x 軸の 0≦x≦1 の部分と異なる2点で交わる条件を
問われています。
2次方程式の話に書き換えるならば, f(x)=0 という2次方程式が
相異なる2個の 0≦x≦1 を満たす実数解を持つ条件を求める問題ですね。

2次関数の問題はグラフで考える!というのが基本なので,
まずはグラフの形から条件を立てて解いていきましょう~
せっかく2次方程式の話にも書き換えたので,2次方程式の解に着目した
解法も後でやってみます~


グラフを用いて考えるとすると, y=f(x) のグラフの形状に
要求される条件を見つけていかなければいけません。
x 軸の 0≦x≦1 の部分と2点で交わるような下に凸の放物線の絵を描いてみましょう~
グラフがこのような形状になるためにはどのような条件式が必要でしょうか zashiki.gif

2個の交点は軸の左と右にそれぞれ1個ずつあるので,
2個の交点が 0≦x≦1 に含まれるには軸 x=b の位置について
0<b<1 がまず必要ですね。
 
x 軸と2点で交わらなければいけないので 最小値 f(b)<0 も必要ですね。

軸より左側の交点は 0≦x<b の範囲になければならないので
f(0)≧0 が必要です~

同様に軸より右側の交点は b<x≦1 の範囲になければならないので
f(1)≧0 が必要です~

以上の4条件をすべて満たすような b の範囲を求めれば良いですよ~ xmas_wreathe.gif



h9_20131229222232082.jpg
h10_20131229222233125.jpg







次は今の問題を2次方程式の解に着目して解いてみましょう~

f(x)=0 の2つの解 α,β が満たすべき条件を挙げて
それをもとに b の範囲を絞り込むわけです~ hiyos.gif

相異なる2実数解を持つので, f(x)=0 の判別式を D とおいたとき
D>0 が成り立たねばなりません。

y=f(x) のグラフが x 軸の 0≦x≦1 の部分と
2点で交わるというのは 0≦α<β≦1 であることと同義です。

そして 0≦α<β≦1 であることは 「 α<β かつ α+(1-β)≧0 かつ α(1-β)≧0 」
であることと同値です eto_ushi.gif
これは,一般に 「 A≧0 かつ B≧0 」 ⇔ 「 A+B≧0 かつ AB≧0 」 であることを
利用しています。

「 A≧0 かつ B≧0 」という条件より複雑化しているのではないかという
印象を持つかもしれません。今回の場合はその印象通りで正解です
「α≧0 かつ 1-β≧0」を連立不等式だと思ってそのまま解こうと思うと
b の無理式を含んだ無理不等式を解かなければならず厄介です。
「 α+(1-β)≧0 かつ α(1-β)≧0 」を考えることによって解と係数の関係を利用して
b の無理式を含まない連立不等式に持ち込めるのであれば,この方法が有効といえるのですが
今回はこの形に持ち込んでも結局無理不等式を解かなければいけないので
シンプルに「α≧0 かつ 1-β≧0」のまま考察を進めたほうが楽です。
でもせっかくなので比較の意味を込めてやってみます。


α<β という条件は,実際に解の公式から f(x)=0 の2つの解を求めたとき
解の表示式に含まれる ±√D の部分に着目して「-√D」の方を α, 「+√D」の方を β
とおくことに反映させます。

あとは α+(1-β)≧0 と α(1-β)≧0 の2つの不等式を解けばよいです。
しかし, b の無理式を含んだ面倒な不等式なので厄介です。
無理式を無くすために両辺を2乗するなどして対処することが多いと思いますが
その際,元の不等式との同値性が崩れないように注意しなければいけません eto_hitsuji.gif
一般に A<B という不等式は A^2<B^2 とは同値ではありません。
両辺が正である条件下では A^2<B^2 を考えて差し支えが無いです~

h11_201312292222340bf.jpg
h12_201312292223106b1.jpg


最後の,複数の条件の共通部分を取る作業が地味に面倒です。
本番試験ではこのような面倒な解法はとてもオススメできません。


最後に「α≧0 かつ 1-β≧0」のまま考察を進めてみる方法を試してみます dog_happy.gif
無理不等式の扱いに注意するという点は先程と同様です。

h13_20131229222311a83.jpg

h14_20131229222311a03.jpg


h15_20131229222312058.jpg

h16_201312292223137c4.jpg





センター試験は解法の選択が勝敗を分けることも多くあります。
効率のよい方法を瞬時に嗅ぎ分ける能力を養いましょう dolphin.gif






   
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