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2013年センター試験 追試 数学ⅠA 第3問

2013.12.30 03:06|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター追試の数学IA 第3問 をやっていきますよ~

問題はこの辺などから~ ぺんぎんmini
http://www.dnc.ac.jp/modules/file/index.php?page=visit&cid=96&lid=1853

平面図形の問題ですね~~

本試では,序盤の OD=√10 で躓く悪夢を味わった人が多かったようですが
それと比べると追試の問題のほうがやりやすいんじゃないかなーーという気がします


はじめの方は △ABC に関する簡単な考察です~
どうも本試の方と釣り合いがとれてない感じがしますね~

cos∠ACB, sin∠ACB, △ABC の外接円の半径をそれぞれ求めます~
余弦定理正弦定理をちょいっと使うだけですね body_jump.gif


i1_201312292354120be.jpg

i2_2013122923541301b.jpg


さてここからが本番です~~

△ABC の外接円の周上の点B,Cにおける接線を考えて交点をPとするそうです。
直線APとBCの交点がD,Aを通りBCと平行な直線とPX,PYの交点がそれぞれX,Yです~

図を描くときにまず注意したいのは,直線XYは △ABC の外接円の接線ではないということです。
ついうっかり接線と勘違いしないようにして下さい~

PX,PY は接線なので,PB=PC, PX=PY が成り立っています。
接弦定理によって ∠XBA=∠ACB, ∠YCA=∠ABC などが成り立ちます。
また, XY // BC より,錯角が等しくなっている箇所として
∠XAB=∠ABC, ∠YAC=∠ACB なんかがあります。
角度の関係性に着目することで相似な三角形の組がいくつか見付けられそうですね dog_love.gif


i3_20131229235414fe0.jpg


まずは角度に関する設問がありますね。
既に上で述べたように平行線の錯角と接弦定理に着目して
角度の関係性から △ABX∽△BCA を導くと良いです~

i4_201312292354149c5.jpg


同様に △CAY∽△BCA も成り立ちます。
これらの相似性から辺の比に着目して AX と AY の長さを求めることが出来ます~

i5_20131229235415d37.jpg
i6_201312292354169aa.jpg

AX と AY の長さは以下のように,
△ABX と △ACY において正弦定理を利用して求めることも出来ます~

i7_20131229235442f60.jpg

i8_20131229235443d59.jpg


今度はちょっと遠回りしながら AX と AY の長さを求めてみます。

△PBC, △PXY が二等辺三角形であるので,直線XYと △ABC の外接円の
交点のうちAでない方をEとすると,下の図はちょうど左右対称になっています ladybug.gif


    i9_201312292354438df.jpg

このため, EX=AY が成り立ちます。
XY と EA の長さが分かれば,その差をとって2で割れば AY の長さが分かるし
AX=XE+EA=AY+EA によって AX の長さも分かります。
そんな方法でやってみましょう~


まずは EA の長さを求めます。
円に内接する四角形 EBCA に着目してトレミーの定理を使ってみます whale.gif
対称性より △ABC≡△ECB なので,トレミーを使うにあたって長さが分からないのは
ちょうどEAだけになっているはずです。

i10_20131229235444008.jpg


△ABC∽△XAB より ∠BAC=∠AXB なので
sin∠AXB, cos∠AXB, tan∠AXB は ∠BAC に関する三角比の計算から分かってしまいます。
また下図のように垂線の足H,I,Jをそれぞれ取ると
AH=BI=CJ で,その長さは △ABC をBCを底辺とみたときの高さを求める計算で
得ることが出来ます~

△BXI に着目すると,上の計算から XI の長さを求めるための準備が整っているはずです。
YJ の長さは XI と等しく, IJ の長さは BC と等しいです。
これで XY=XI+IJ+YJ によって XY の長さが求まります。

この手順によって無事に XY と EA の長さが分かりますね s2_sum_sunflower.gif


i11_201312292354453ff.jpg
i12_20131229235445853.jpg




さて,次の設問に進みましょう~

DC:BD の比を利用して DC の長さを求めようというものですね~

手前の設問で AX と AY の長さを求めましたが,
これを利用すると良いのですよー
中学校で習った平行線と線分の比の関係式を使います~

BC // XY より PD:PA=DC:AY=BD:XA が成り立ちますね butterfly07.gif


i13_20131229235521d9c.jpg



今の解答では △PBD∽△PXA と △PCD∽△PYA に着目していた
という見方ができますが,
(△PBCと線分PDのセット)∽(△PXYと線分PAのセット) という相似関係に着目して
BD:DC=XA:AY とすることもできますね~ car2_ambulance.gif


i14_20131229235522fb4.jpg





最後は AD の長さを求める設問です~

△ACD に余弦定理を使えば瞬殺できます~

i15_20131229235523dff.jpg


違う方法も挙げておきます~
AY と DC の長さが分かっているので △PDC と △PAY の相似比が分かります。
このことから PD:DA も分かってしまいます~
よって PA の長さを何とかして求めることが出来れば AD の長さも
求めることが出来そうですね~ cutlet.gif

PA の長さを求める方法としては,例えばPからXYに垂線PMを下してみると
対称性からまず XM=YM が分かり,
PM の長さは PM=YM・(tan Y) で求めることが出来て
AM の長さは YM-AY で求められるので
△PAM に三平方の定理を適用すれば良いです~

i16_20131229235523932.jpg
i17_201312292355240e3.jpg



方べきの定理を活用した解法も1つ挙げてみます~

PA と △ABC の外接円の交点のうちAでない方をFとおきましょう~
このとき方べきの定理から PC^2=PF・PA が成り立ちますね。
PC の長さは PY の長さが分かればあとは DC:AY の線分比を利用して求めることが出来ます。
PA は上の解法と同様に求められます。
よって PF の長さを求めることが出来ます。
PA との差を取ることで AF の長さも分かります。

再び方べきの定理から AD・DF=BD・DC が成り立ちます。
BD,DC の長さはもはや既知なので, x(AF-x)=BD・DC 
を解けばいいわけですね。

ただし, AD を x とおいても, DF を x とおいても
同じ方程式が現れるので,この2次方程式の2つの根のうち
一方は AD の長さで もう一方は DF の長さになっています

i18_20131229235525175.jpg


上図な図が描けていれば長い方が AD だとぼんやりと分かるでしょうが
微妙な図だと迷うかもしれませんね。
PD:DA=2:5 になっている方を選ぶというのでもいいですが,
PD:DA=2:5 という関係式を利用するなら始めから PA の 5/7 倍として
求めてしまえばいいわけなので,ここではそれ以外の方法でどちらが AD かを吟味してみます。

∠BFC+∠BAC=180°, cos∠BAC>0 より
cos∠BFC=-cos∠BAC<0 が得られるので ∠BFC は鈍角です。
△BFC を点Dに関して対称移動させて出来る △BF´C を考えると
F´は直線AD上にありますね。
直線AD上に点Qをとると,直線BCからの距離が離れれば離れるほど ∠BQC が小さくなることが分かります
∠BF´C=∠BFC>∠BAC よりF´よりAの方が直線BCより遠い位置にあることが分かるので
F´は線分AD上の点であることが分かります。
したがって AD>F´D=FD であることが分かります。

i20_20131229235546575.jpg





他にも △ADH に三平方の定理なんていう解法もありそうですね。
とりあえず今回はこの辺にしておきましょう~ dolphin.gif





            
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