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2013年センター試験 追試 数学ⅠA 第4問

2013.12.31 01:34|大学入試問題
どもども。

今回は今年のセンター追試の数学IA 第4問 です~~


問題はこの辺などから~~ 算数mini
http://www.dnc.ac.jp/modules/file/index.php?page=visit&cid=96&lid=1853


場合の数と確率の問題です~~

前半は割と穏やかですが,
後半の確率部分の設問は得点の与え方のルールが複雑で分かりにくいです~



袋の中に9個の玉が入っているというシチュエーションです。
青玉が4個,黄玉が2個,黒玉が1個,白玉が1個,緑玉が1個です。
4個の青玉にはそれぞれ1~4の数字が書いてあり
2個の黄玉にはそれぞれ1,2の数字が書いてあり
残りの玉にもそれぞれ1の数字が書いてあるらしいです。
袋の中から一度に4個の玉を取り出すという試行に関して様々な設問に答えていくという
大問になっていますよー senpuki04.gif



まずは4個の玉の取り出し方の総数を問われています。
9個の玉は全て区別があるものなので,難しいことを考えずに9個の異なるものから
4個の異なるものを選び出す組み合わせの数を考えればよいですよ~

j1_20131230230028b15.jpg


次は取り出した4個の玉に書かれている数字がすべて異なるような取り出し方の総数です~
玉に書かれている数字は1,2,3,4のいずれかなので,
「4個の玉に書いてある数字がすべて異なる」ことと「1,2,3,4の数字が書かれた玉が1個ずつある」
ことは同値
です~ heart2_glitter.gif
1と2の数字が書かれた玉は複数あるので何色の玉を取るのかの選択を考えなければいけませんが
3,4ははじめから青色で確定ですね~

j2_20131230230029659.jpg




次は,取り出した4個の玉の色がすべて異なるような取り出し方の総数です。
青と黄の玉は複数あるので,もしも4個の中にこれらの色の玉が含まれているとしたら
その玉に書かれている数字が何かによって分類が必要になります。
そこで,「青と黄を両方含む」「青は含むが黄は含まない」「黄は含むが青は含まない」
の3パターンに分けて
それぞれの場合の数を計算してみたいと思います~ insect_kuwa_m.gif

「青と黄をどちらも含まない」パターンも有るんじゃないの?
と思うかもしれませんが,青・黄以外は黒・白・緑の3色しかないので
4個の玉の色がすべて異なるとしたら必ず青・黄のうち少なくともどちらかは含んでしまいます

なお,「青は含むが黄は含まない」「黄は含むが青は含まない」パターンは
それぞれ「青・黒・白・緑」「黄・黒・白・緑」を取り出すパターンで確定します。


j3_20131230230030d6c.jpg
j4_201312302300316eb.jpg


余事象の場合の数を求めてみても良いですよ~
つまり「取り出した4個の玉の中に同じ色のものがある」ような取り出し方です。
「4個すべて青」「3個が青」「2個が青」「青は1個だけど黄が2個」「青は無いけど黄が2個」
の5パターンがあります~ hiyos.gif


j5_20131230230032539.jpg



次の設問です~

「青が1個だけある」ような取り出し方の数を問われています。
青の数字の選び方は4通りで,残り3個は青以外の5個から3個を選ぶ組合せの数を考えればよいです~ hunayurei.gif


j6_201312302300336f8.jpg


以下のように4個の中に含まれる黄玉の数で分類しながら解いても構いませんよ~

j7_20131230230104a23.jpg






ここから先は確率の問題です~~

4個の玉の取り出し方に応じて0点~4点までの得点が与えられます。
その得点の期待値を求めようという流れです~

得点の与え方のルールがなかなかややこしいですね。
時間が少ないセンター試験ですが,焦ってはいけません。
落ち着いて得点の与え方のルールを正しく把握しましょう~ kame.gif

要点としては,まず取り出した青玉の個数が1個の時だけ点数が発生し
それ以外のときは問答無用で0点である
ということです kaeru_en2.gif

青が1個であるときは,その青玉に書かれた数字に着目します。
それと同じ数字の玉が4個中何個あるかによって点数が決まります~


j8_20131230230104a96.jpg



青玉以外の玉は「黄1」「黄2」「黒1」「白1」「緑1」の5個なので,
すべて書かれた数字が1か2かのどちらかになっています

このため,青が1個のときは,4個中1の数字が書かれた玉の個数は
2個か3個か4個かのいずれかになってしまいます。
同様に2の数字が書かれた玉の個数は1個または2個,
3の数字が書かれた玉の個数は0個か1個,
4の数字が書かれた玉の個数も0個か1個です。
青玉の数字が3か4だったときは得点はそれぞれ自動的に3点,4点で確定してしまいます。
また,点数が1点になるパターンはありませんね。



そんな中,まずは得点が2となる確率から問われています。

青玉が1個だけ含まれていて,その青玉の数字が2であり,残りはすべて2以外の数字であるパターン
に限られます。「青2」以外はすべて数字が1になりますね。

j9_201312302301050ea.jpg
j10_20131230230106254.jpg



次は点数が3点の確率です~
「1個だけ含まれる青玉の数字が1で,残り3個の中に1の数字が書かれた玉が2個ある」
「1個だけ含まれる青玉の数字が3」

の2パターンがあります~ m_0034.gif


j11_20131230230106a73.jpg




次は点数が4点の確率です~

これは3パターンあるので面倒ですが,1つ1つは簡単に場合の数が求められます。
「1個だけ含まれる青玉の数字が1で,残り3個もすべて数字が1」
「1個だけ含まれる青玉の数字が2で,残り3個の中に「黄2」が含まれる」
「1個だけ含まれる青玉の数字が4」

の3つですね~ m_0035.gif


j12_20131230230107626.jpg


得点が2,3の場合の確率が分かっている状況なので得点4の確率は
余事象の確率を利用して求める手もあります。

j13_201312302301324a4.jpg



最後は期待値を求めておしまいです。
実質的には点数が2,3,4の確率が分かっていれば計算することができます~ m_0100.gif



j14_201312302301331bb.jpg







そんなわけで今回はここまでです~

それでは良いお年を~ m_0195.gif




   
  
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