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2013年センター試験 追試 数学ⅡB 第1問 その1

2014.01.02 02:35|大学入試問題
どもども。



新年一発目は2013年のセンター追試数学ⅡBの第1問の前半です~

問題はこの辺などから~ 算数mini
http://www.dnc.ac.jp/modules/file/index.php?page=visit&cid=96&lid=1856

三角関数の問題です~
本試ではこういうザ・「三角関数の問題」みたいのはなかったのですが
追試では出題されましたね。

x^2+y^2=1, y≧0 という条件のもとで関数 z=2x^2+4xy-y^2
の最大値を求めてみよう
という問題なのですが,
x^2+y^2=1 という条件式から点 (x,y) は原点を中心とする単位円周上
(特に上半分)の点なので x=cosθ, y=sinθ とおけるため,
z を θ の関数とみなして最大値を求めようという趣旨らしいですよ~ winkapa.gif



実際はいろいろな方法で最大値が出せるかと思うのですが,
三角関数に直して考えるという誘導に従って解かないと途中の空欄が埋められません。
まぁ,ヘタな解法選ぶくらいなら誘導通り三角関数に直して解くというのが賢明な解法だと思いますが

素直に x に cosθ, y に sinθ を代入してみると
cosθ, sinθ の2次式になりますね。
cos^2θ+sin^2θ=1 を利用して sin^2θ を消去すると cosθ の2次関数になる,
みたいなパターンだと t=cosθ とおいて t の2次関数の最大値を考える問題に
帰着されるのですが,今回はそのパターンにはならないようです。

その方法が使えないのは
4cosθsinθ という項が含まれているからなんですね。
ムリヤリ cosθ だけの式にすると2次関数にはなりません。

2次関数に帰着させる方法の他に,2倍角や半角の公式を使って
cos2θ と sin2θ の式に直してしまう
という作戦があります~ winkneko.gif
今回はそれが有効ですよ~

三角関数の合成を用いることで三角関数を含む項が1つだけになるように変形ができます~

k1_2014010200233114b.jpg
  k2_20140102002331ca9.jpg


sin(2θ+α)=1 になるような θ があれば,そのような θ の値に対して
z は最大値 3 を取ることになりますね。
そんなわけで 2θ+α の取り得る値の範囲を確認してみると
α≦2θ+α≦2π+α になっています。
α は鋭角なので, 2θ+α=π/2 はちょうどこの範囲に含まれています。
したがって, 2θ+α=π/2 のときに z は最大値3を取ります~ win_snowman.gif

そのときの x と y の値はそれぞれ
x=cosθ=cos(π/4-α/2) , y=sinθ=sin(π/4-α/2) 
の値を求めればよいのですが,何だか小面倒ですよね。
いきなり cosθ と sinθ に走るのではなくて
一旦 cos2θ から始めてみると効率が良いです~


k3_201401020023320c8.jpg


cos2θ の値が分かれば2倍角の公式から cosθ の値も分かる,
というわけなのですが,「±」がついた形で出てくるので
あらかじめ「+」と「-」どっちを取ればよいのか吟味をしておくことが大事です~ win_night.gif
今の場合は「+」の方になりますよ~~

k4_2014010200233361d.jpg






誘導に従って解くとこんな感じです~ waraioni.gif



ここから先は誘導を無視して別の方法で z の最大値を求めてみようと思います。
まずは無理方程式の解の存在条件を考察する方法でやってみます~~ whale.gif


y≧0 という条件があるので y=√(1-x^2) と書けます。
これを z の式に代入することで, x に関する無理方程式が得られます~
z は定数だと思うことにしますよ~

k5_201401020023342d2.jpg


z がどんな値だったらこの方程式は解を持つのでしょうか。
 の両辺の符号は一致しなければいけません。
任意の実数に対して -3x^2≦0 なので, z≦-1 のときは  の右辺は0以下です。
したがって,左辺も0以下にならなければいけないので 
 の解はもし存在するなら 「-1≦x≦0 または x=1」の範囲になければいけません。

しかしまぁ, z≦-1 の場合の議論は後回しにしても構いません。
今知りたいのは z の最大値だったからです。
z>-1 であるような何かしらの z=z_0 に対して  が解を持つことが分かれば
その時点で求める最大値は z_0 以上の値であるはずなのです kawauso.gif
だからこの場合 z≦-1 の場合の議論はどうでも良くなってしまいます。

というわけで z>-1 の場合を考えてみましょう。
この場合は,  の右辺は正にも負にも0にもなり得ます。
-1≦x≦0 の範囲に解を持つためには,左辺が0以下なので,その解 x は右辺の値も
0以下にするようなものでなければいけません。
右辺が0以下になるのは x≦-√{(z+1)/3} または √{(z+1)/3}≦x のときなので
解 x は -1≦x≦-√{(z+1)/3} の範囲になければいけません。
このとき,大前提として -1≦-√{(z+1)/3} でなければいけないので -1<z≦2
でなければいけません s2_sum_sunflower.gif

一方で, 0≦x≦1 の範囲に解を持つためには,左辺が0以上なので,その解 x は右辺の値も
0以上にするようなものでなければいけません。
右辺が0以上になるのは -√{(z+1)/3}≦x≦√{(z+1)/3} のときなので
解 x は 0≦x≦√{(z+1)/3} の範囲になければいけません。
-1<z≦2 のときは √{(z+1)/3}≦1 なので解 x は素直に
0≦x≦√{(z+1)/3} の範囲にあればよいですが,
z>2 のときは √{(z+1)/3}>1 なので解 x は 0≦x≦1 の範囲になければなりません


 が解を持つようななるべく大きな z の値を見つけたいので
最後に出てきた z>2 の場合に着眼してみるのが良いと思います。
2より大きな z で 0≦x≦1 の範囲の解を持つようなものが1個でも見つかれば
z≦2 の場合の具体的な議論が全てスルーできます。
そして実際, z の最大値は2より大きな値なのです~ heart2_arrow.gif


k6_20140102002334bf7.jpg



 の両辺を2乗して考えます~
そうすることで x の複2次方程式が現れます。
この複2次方程式の解は  の解だけではなく
-4x√(1-x^2)=z-3x^2+1 の解も含んでしまう
ので
x の取り得る範囲について丁寧に考察しておいたというわけです xmas_wine.gif

複2次方程式については t=x^2 とおくことで t の2次方程式に関する
解の配置問題に帰着されます。

k7_20140102002508359.jpg


f(t)=25t^2-2(3z+11)t+(z+1)^2 とおくと,
f(0)≧0, f(1)≧0 は z の値によらず成り立つことが分かるので
グラフの軸の位置と f(t) の最小値に関する条件式から z の範囲を追い詰めます~

k8_201401020025087fd.jpg
k9_20140102002509ff3.jpg

k10_201401020025102fd.jpg


一応答えは出ましたが,やはり無理方程式の取り扱いは面倒ですね okojyo02.gif
両辺を2乗することで生じる弊害への対処を施さなければいけないことが
最大のデメリットである解法です。





次は無理方程式ではなく無理関数を考えてみます。
z を x の無理関数とみなして微分して増減を調べますよ~
極値を与える x を求める際にやはり無理方程式が出現し
正しく解になっているものを選別する作業が伴いますので注意です。
それでも文字定数を含んだ方程式ではないので,上の解法よりはやりやすいはずです。


k11_2014010200251071e.jpg
k12_20140102002511f93.jpg






最後は,内積を使ってみたり(あるいはコーシー・シュワルツの不等式),
完全平方式を使ってみる解法をやってみます。

x^2+y^2=1 と 2x^2+4xy-y^2=z の2式を
何倍かしながら足し引きしてみることで
A(ax+by)^2 の形を作ってみたい
と思います Strawberry01.gif

αx^2+βxy+γy^2 の形の2次式は
y を定数だと思って左辺を x の2次式とみなしたとき
αx^2+βxy+γy^2=0 が重根を持つときに限り
左辺は完全平方式になります~

k13_20140102002533d14.jpg


k=2 のときからは z+2=(2x+y)^2 という式変形が得られます~
右辺は2つのべクトル (→p)=(2,1) と (→q)=(x,y) の内積の2乗と
みなすことができます jyugon.gif


k14_20140102002534c1f.jpg
k15_2014010200253530c.jpg



k=-3 の方を採用しても z の最大値はちゃんと得られます~
こちらは内積とか考えるまでもなく答えが得られますよ~


k16_20140102002535b0d.jpg


2次試験でこの問題が出されたとすると,
計算用紙で k=-3,2 を求めるところまでやってしまって
実際の答案ではいきなり 
z-3=(2x^2+4xy-y^2)-3(x^2+y^2)=-(x-2y)^2≦0 より z≦3 
としてしまえば,たった1行で最大値まで到達できてしまうので,
なかなかの荒業だと思います~~~ kaeru10.gif








それでは今回はここまで~
次回は第1問の後半です~katudon.gif




          
63A681B8-2AD9-4C10-95FF-87DC69F4B028.jpg




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