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2013年センター試験 追試 数学ⅡB 第1問 その2

2014.01.03 14:50|大学入試問題
どもども。


今回は2013年のセンター試験追試の数学ⅡBの第1問の後半戦をやります~


問題はこの辺などから~~ FULL_2013_02_26_213320.gif
http://www.dnc.ac.jp/modules/file/index.php?page=visit&cid=96&lid=1856


図形と方程式の単元の領域に関する問題です~~

領域 A と B が与えられていて,その共通部分 C がどんな形になるかに関する
問題になっていますよ~
領域 A は円の周及び内部になっていて,領域 B は直角三角形の周及び内部です。
この直角三角形の頂点は原点, P(12,0), Q(0,24) になっていて
円の大きさと比べると結構デカイです。

まずは円のほうの中心と半径を求めておきましょう~ densya.gif




l16_20140103123219996.jpg



l1_201401031228566b7.jpg



次の設問では,この円と直線 PQ が接しているとき, 
A と B の共通部分 C はどのようなものかを問われていますね。

円の中心は (a,2) なので,これは常に x 軸に平行な直線 y=2 上にあります。
半径は2なので,常に x 軸に接してもいます。
x 軸上を円が転がってるイメージでも持っておけばよいでしょうか~
円が直線 PQ と接するのは2回あります。
△OPQ に内接しているときと外接しているときがあります。

内接しているときは A は丸ごと B の中に入ってしまっているので
共通部分 C は A と一致してしまいますね~
外接しているときは共通部分 C は接点のみになっています~ curry02.gif



l2_20140103122857c37.jpg


l17_2014010313144768b.jpg


次は C が空集合にならないような a の範囲を求めます。
円が左から右へ転がっていくイメージで考えてみると
最初に辺 OQ と接するところから上で見た辺 PQ と外接するところまでが
共通部分が何かしらある範囲ですね jyugon.gif

l18_20140103131447abd.jpg

OQ と接しているときの方の a は恐らく求めるのに問題はないでしょう。
PQ と接してるときの方の a は色々な求め方がありそうです。
いくつか試してみましょう~


まずは円の中心 (a,2) と直線 2x+y=24 が距離が半径 2 と等しくなるとして
方程式を立てる
パターンをやってみましょう~

方程式を解くと,△OPQに内接するときの a と外接するときの a と
両方出てきてしまうのですが,小さいほうが内接パターン,大きいほうが外接パターンです。

l4_20140103122858ec6.jpg


次は,円と直線 2x+y=24 の交点が1個だから y を消去した2次方程式が
重解を持つことに着目して 判別式=0 の方程式を立てる
パターンをやってみます okojyo01.gif

直線の式の定数項が24とデカイので,一連の計算も出てくる数字がでかくて少し面倒になります。
上でやった解法と計算量の点で大きく差があります。
どちらも定番の解法ですが,どちらを選ぶかによって命運が左右されてしまうかもしれません。



l5_2014010312285949d.jpg

 l6_201401031228591a9.jpg



次は,接点の座標を a を用いて表して中心との距離が半径2と等しいとして方程式を立ててみます hiyoko.gif
接点をHとおいてみます。Hにおける接線( 2x+y=24 )と法線の交点を求める形でHの座標を計算します。
法線の方は円の中心を通る 2x+y=24 に垂直な直線として計算できます~

l7_20140103122927320.jpg



次は円の接線の公式を活用してみます~
接点を (x_0,y_0) とおいて,この点における円の接線が 2x+y=24 と一致する
と仮定して方程式を立てたいと思います butterfly04.gif



l8_2014010312292720d.jpg


ここで, x_0-a=2, y_0-2=1, -a(x_0-a)-2(y_0-2)-4=-24
とおくのは誤りなので注意ですよ~
2x+y-24=0 の両辺を k 倍して 2kx+ky-24k=0 としても
同じ直線の式になっているからです。
(x_0-a):(y_0-2):{-a(x_0-a)-2(y_0-2)-4}=2:1:(-24)
とするのが正解です。


l9_201401031229284c2.jpg

上の計算で y_0 として小さい方をとったのは,接点の y 座標が小さいときのほうが
求める場合だからです。



最後は,角の2等分線に着目してみたいと思います~
円が PQ に接してるときに, P と中心 (a,2) を通る直線が
P から引いた2本の接線がなす角を2等分していることを利用して方程式を立て
ます tyoutcin.gif
2本の接線の単位方向ベクトルの和が2等分線の方向ベクトルになります。

l10_20140103122929e93.jpg

   l11_2014010312292913a.jpg










さて,次の設問では A と B の共通部分が A と一致してしまうような
a の範囲を問われています~
円が左から右へ転がるイメージで考えると,やはり円が OQ,PQ と
接しているときが境界になっていることが分かります rabi_shy.gif
今度は共に △OPQ に内接しているときですね。
それぞれの a を求めることはさっきまでやってた計算と大体同じ方法でできますので
ここでは簡単に流しておきますね~



l12_20140103122930e02.jpg






最後の設問です~
共通部分 C の面積がちょうど円の面積の半分になっているときの a を求めるというものです。
これは2回あります。

円が OQ または PQ と2点で交わっているとき,2交点を結ぶ弦によって
円が2つのパーツに分かれます。片方が C になっていますね。
C の面積が A の半分なのは,2交点を結ぶ弦がちょうど円の直径になっていて
C が半円になっているとき
です~ rice_hungry.gif

2交点を結ぶ弦が直径になるのは,円の中心がその弦の上に乗っかってるときです。
よって,中心が OQ または PQ 上にあるときにそれが起きるので
そこから a を求めてやればよいですね~


l13_201401031229517cf.jpg



あるいは,2交点を結ぶ弦が直径になるのは,その弦の長さが直径の長さ 4 と等しくなっているときです。
このことに着目して a を求めることも出来ます。ただし,上の解法よりも面倒です。
やはり,解法の選択は重要ですね rabi_happy.gif



l14_2014010312295233d.jpg

l15_20140103122953497.jpg












それでは今回はここまでにして,
次回は第2問です~ dog_shy.gif



   
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