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2013年センター試験 追試 数学ⅡB 第2問

2014.01.04 14:51|大学入試問題
どもども。


今回は2013年のセンター試験追試の数学ⅡBの第2問をやります~


問題はこの辺などから~~ kaerum mini
http://www.dnc.ac.jp/modules/file/index.php?page=visit&cid=96&lid=1856


微分・積分の問題ですね~
放物線 y=x^2 と2本の接線が囲む領域の面積に関する
非常に典型的なセンター試験っぽい微積問題という印象が強い大問です hanaji03.gif


というわけで始めに,簡単なおさらいをしておきます。
恐らくセンター対策のテキストなんかには大体書いてある定番の知識ですが
下図のように,放物線 y=kx^2 (k>0) 上の2点 P, Q における接線の交点をRとすると, 
以下のような内容が成り立ちます~ hana-ani03.gif



m4_2014010401574801c.jpg



今回の問題も例外ではありません~
これを知ってるだけで計算量はかなり減らせます。
2次試験ではあまりテクニックに走りすぎて導出過程を省きすぎると減点されることも
あり得るので注意はしたいのですが,マーク試験では裏技をたくさん知ってると有利ですね。

今の問題では ∠PRQ=90° という追加の仮定があります~
接点 P,Q における接線と法線を考えて
3点 P,Q,R,T を頂点に持つ長方形 PRQT なんかを考えたりします。

m1_20140104015746433.jpg


では各設問に答えていきましょう~


まずは, a と b の間の関係式を求めるものです~
P における接線 ℓ と, Q における接線 m が直交するので
それぞれの傾きを求めてその積が-1になるように設定してやればOKですね

m2_201401040157472b3.jpg


a>0 なので b=-1/(4a) は負の値になります。
点 Q は必ず y 軸より左側にあることが分かりますね

次は2接線の交点 R の座標を求めます。
律儀に計算してもいいですし,冒頭で述べた一般論に当てはめてしまってもいいです。
ここ以降の計算ではむやみに b を消去して a のみの式にして計算するより
敢えて b を残したまま途中計算をすると見た目がスッキリする傾向があります hachi02.gif



m3_20140104015748e54.jpg




次は長方形 PRQT の最後の頂点 T の座標を求める設問です~
3つほど求め方を挙げたいと思います~ hamu02.gif

 方針1:ベクトルの計算で (→OT) を求める
(→QT)=(→RP) であることから, (→OT)=(→OQ)+(→QT)=(→OQ)+(→RP)
として計算できます~


m5_201401040157492a2.jpg
m6_201401040157494b7.jpg



 方針2:線分 PQ の中点と線分 RT の中点が一致することに着目する

m7_20140104015821f1e.jpg
 

 方針3:T が直線 ℓ´ と m´ の交点なのでこの2つの直線の式を求めて交点を出す
´ の傾きは 2b, m´ の傾きは 2a です~ aomushi02.gif


m8_201401040158210ca.jpg




それでは次の設問に進みましょう~

いま求めた T は a の値が変化するときにどんな曲線上を動くのか
その軌跡の方程式を求める問題です~

T の x 座標, y 座標は共に a,b の対称式で表されています。
基本対称式 a+b, ab のうち ab についてはその値が -1/4 であることが
分かっています。 a+b を消去して軌跡の方程式を求めてみましょう~

m9_20140104015822fef.jpg


放物線の方程式が出てきましたね。
今は穴埋め試験なので,この式さえ出てしまえば問題の空欄は埋められるかと思いますが,
記述試験ならば T の動く範囲がこの放物線の全体なのか一部分なのかを検証をしておくべきだと思います。
x のパラメータ表示は x=(1/2){a-1/(4a)} になっているわけですが, 
a が正の数全体を動いたときに果たして x の変域は実数全体になるのかどうかを考察します


x=(1/2){a-1/(4a)} を a の関数だと思って微分して増減を調べても構いません。
ここでは ↑ この式を a に関する方程式だとみなして,この方程式が正の解を持つための
定数 x の条件を調べる
ことによって x の変域を求めてみます。
分母を払って整理することで2次方程式の議論に持ち込めますよ~

m10_201401040158234f2.jpg






次の設問に進みましょう~~

長方形 PRQT の面積 S_1 を求めよ~~というものですよー
これもまたいくつかやり方があると思うので,何個か実践してみます~ ny_hagoita.gif


 方針1: △PRTの面積をRTを底辺としてみて求めて2倍

R と T の座標を求めた時点で,この2点の x 座標が等しくなっていることに
気がつけたらラッキーです。
なんと線分 RT は y 軸と平行になっているのです light.gif

そこで, △PRT の面積は RT を底辺として考えると求めやすくなっています~
それを2倍したものが長方形 PRQT の面積になっています~

m11_20140104015823640.jpg



 方針2: シンプルに縦×横で面積計算

△PQR や △PRT は直角三角形なので,たとえば PR と QR の長さを求めれば
底辺×高さ÷2 で △PQR の面積が出せるのでそれを2倍すれば S_1 が得られます。
もっと単純に言えば,長方形の面積公式 縦×横 に当てはめるというわけですね huririhi.gif


m12_201401040158243b8.jpg

根号の中の計算が若干トリッキーですね。


 方針3: 座標を用いた面積公式を使ってみる

1つの頂点が原点であるような三角形の面積を残り2頂点の座標を使って表す公式がありましたね。
R が原点に来るように △PQR を平行移動してこの公式を適用してみます heratss_blue.gif
(→RP) と (→RQ) が張る三角形の面積と考えても良いです~

m13_20140104015855bcc.jpg


 方針4: 積分してみる

△QRT の面積を積分計算で求めてみたいと思います。
直線 RT が y 軸に平行なので, x=b から x=(a+b)/2 までの
積分になりますよ~

m14_201401040158560a6.jpg




あともう1つ方針5というのを挙げたいのですが,
これはもうちょっとだけ後に挙げることにします~~ hearts_pink.gif



次の設問に進みましょう~~

放物線 y=x^2 と直線 PQ で囲まれた図形の面積を求めるものです~
この面積を S_3 とおいておきます~
S_2 にしないのは, S_2 がこの後,別の図形の面積に当てられているからです。
S_3 については俗にいう 1/6公式 が思い切り使えますね
ということで瞬殺できます~


m15_201401040158575ef.jpg





1/6公式という便利なものを知ってしまうと,それに頼りすぎてしまって
それを用いずに同等の計算をしなさいと言われると案外出来なかったりする人が多いです。
出来ることなら,導出の方法とセットで公式を覚えてほしいと思います~ dog_happy.gif


m16_20140104015857187.jpg


なお1/6公式については,数3範囲まで入れると部分積分を用いた導き方もありますよ~






続いて次の設問は放物線 y=x^2 と2本の接線とで囲まれた図形の面積 S_2 が
S_1 の何倍かを求める問題です~~

この面積も1/6公式同様に公式化してインプットしてしまってる人も多いかもしれませんね。
1/6の部分が1/12になります~
冒頭で一般論を述べておきましたが,この S_2 は S_3 の半分になっています。

さて, S_2 と S_3 を足したものが △PQR の面積になっていることは分かるでしょうか。 
ということは S_1 は更にその2倍です。
そこで,設問上は先に S_1 を求めさせていましたが,先に S_2 と S_3 を求めてしまうという
解法も考えられるのではないでしょうか drink_hottea.gif
これが先ほど飛ばした S_1 を求めるための  方針5: 先に S_2 と S_3 を求めてしまう 作戦です~

m19_20140104015925c11.jpg


一般論に頼らずに S_2 を求めていくとすると,素直に問題の誘導に乗って答えるならば
S_2=△PQR-S_3 とするのが楽チンかと思います~ bye03.gif


m17_2014010401585806e.jpg


積分計算で求めても良いですが計算が面倒ですね。
でも冒頭で挙げた一般論の導出の流れでもあるので,やり方自体はおさえておきたいです。

m18_201401040158599c1.jpg




最後の設問です~
S_2 の最小値とそれを与える a の値を答える問題ですね。
丁寧にも相加平均と相乗平均の関係を利用して求めると良いですよ~~
という誘導があります。

S_2 は (1/12)(****)^3 の形で与えられています。
これが最小になるのは **** の部分が最小になるときです。
そういうわけで, **** の部分に相加平均と相乗平均の関係を適用してみましょう~ butterfly08.gif



m20_20140104015926d76.jpg

m21_201401040159275cc.jpg



一方で,3乗の部分を展開してから相加平均と相乗平均の関係を使うというやり方でもイケます。


m22_20140104015927300.jpg



相加平均と相乗平均の関係を試験場でド忘れしてしまったという場合は
上の方で T の軌跡を求める問題で x の動く範囲を方程式の議論に持ち込んで考察したのと
同様のノリで求めることが出来ます。

t=a+1/(4a) とおいて,これを a の方程式だと思って正の解を持つような
定数 t の範囲を求めてみると良いと思います。

m23_20140104015928536.jpg

    m24.jpg



解の存在範囲とか小難しいこと考えるのは嫌だ!
という場合は S_2 を a の関数と思って微分して増減を調べちゃうのもありですね。
ただし,関数の形が複雑だと解答時間が足りなくなってしまう危険性があるので
非常に怖い作戦と言えますが。

m25.jpg






それでは今回はこの辺にして
次回は第3問です~~ spaghetti.gif






    
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コメント

分かりやすかったです!
おかげでモヤモヤスッキリです!
ありがとうございました!
また見に来ます!

No title

コメントありがとうございます~v-352

モヤモヤスッキリでしたら幸いです~~

正しい答えが出るやり方であったとしても
計算式の立て方次第では過程が煩雑になってしまう恐れのある問題なので
もしかしたらモヤモヤしちゃう人も多いのかもしれませんねー

実際の現場では制限時間が短いためにモヤモヤしている暇がありません。
恐ろしく煩雑な計算になりそうなときもあるかと思いますが,
多くの場合それを回避する策が何かしらあります~
そのまま突っ走ってみるべきか,それとも立ち止まって何か打開策を探すべきか
瞬時に判断するのはなかなか難しいですが,
モヤモヤスッキリの機会を日頃から多くして
アイデアの引き出しを充実させておけば,打開のチャンスもきっと多くなると思うので
のびのび頑張っていきましょう~♪

ありがとうございます(^o^)
頑張ります!

No title

>瑞希さん

コメントありがとうございます~ v-20

その心意気ナイスですッ

応援しています♪ 
ほのぼの頑張ってみてください~v-354

No title

2013年の追試で検索していたら、たまたま辿りつきました。
このブログの雰囲気とは違い、ほのぼのやっている暇もなく、とても焦っているので相談させてください;;

自分は阪大文系学部志望の浪人生なのですが、数学でアドバンテージを取るためにも8割以上の得点率を目指しています。
数学は苦手なわけではないですが、得意と言い切れるレベルではなく、全統記述模試で偏差値70程度です。
阪大の文系数学は最難関校に比べると難しくないですが、全完はできません。
確実に8割以上を得点するためにも、より数学を極めたいのですが、どうすればよいでしょうか?
論証力もまだまだ甘いなと感じています。
この問題で言うと、「xの変域についての考察」を抜かしてしまうような気がします。

おすすめの問題集等はありますか?
今は手元に文系数学のプラチカがあるのですが、初見で解ける問題は半分もありません…

自分のレベルがいまいち伝わりにくいのですが、もし暇があれば、アドバイスお願いします。

>ぽーちゃんさん

コメントありがとうございます~
時期が時期ですので,確かにほのぼの~と勉強している暇はなさそうですね~
現時点で偏差値70出てるようなので,基礎が固まっていないとか,
網羅系参考書に挙がっている例題に対して解き方が分からないといった危機的状況ではないことは推察されます~

となると,効率よくテクニックや発想力の部分を吸収していく作業を中心に勉強していくと良さそうですね。
今から新しい問題集とか買ったりするのも,あれもこれも中途半端という状況にもなりかねないです~
大手予備校サイトには昨年度の入試の解答速報が挙がってるので,それとか問題集代わりとしては良いかもしれません~
文系プラチカは悪い本ではないので,とりあえずはこれをしっかり征服するというのがよいでしょう~

初見では解けないということですが,では二度目ならちゃんと解けるのでしょうか~
模倣から始める理解というものもありますので,解説読んでその中のポイントがしっかり身につけば
それは十分よいことです。ただパッと解説読んで「あーなるほど」と思ったとしても
実は「分かった」ではなく「分かったつもりになってた」になってることがしばしばあります~
そこで,解説読んだあと,自力で答案が再現できるか試してみることがオススメです~
分かってたはずなのに完全再現できなかった,的なことが割とありますが,それは「分かったつもりになってた」
というパターンになっていた証拠になります。

自力で答案が書ける人はきちんとその問題に対してビジョンが描けていて,
それを答案化しているので1つ1つの操作に対して必然性を見いだせています。
一方でビジョンがないまま問題集の解答だけ見せられると,ときに必然性がいまいちわからない箇所があったりはしないでしょうか。
http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-149.html
ここでは数学の問題の模範解答を料理のレシピに例えていますが,
「醤油を入れる」という工程があったときに何故醤油を入れるのかその必然性についてじっくり考えてみることは重要です。
入れろと書いてあったので何も考えずに醤油を入れました,では得られるものが少ないです。
問題集の解説を読むときに,こうした必然性の確認を常に意識するようにすると,
その解法のビジョンがよく分かるようになり,答案の再現が行い易くなるはずです~

自分で答案作成・再現を行う際にブツブツとひとりごとでその問題の解説をしながら作業をする
というのは結構いいです。自分もいまだによくやります~
周りに人がいる場合は,もれなく冷ややかな視線を浴びせられるのでオススメできませんが,
自分1人で部屋にこもってる際などはどんなに奇異なことをしていても構わないかと思いますので
予備校の先生にでもなったつもりで解説呟きながら答案作ってみてはどうでしょう~
友達相手に問題解説をするということが可能ならそれは更に良いです~
なぜ良いかというと,自分の理解が曖昧な箇所・自信のない箇所があると,どうしてもその箇所で
説得力が弱くなってしまうからです~この操作はそうした箇所を浮き彫りにできる効果があります。
全てにおいて必然性が理解できていれば全編通して胸を張って解説ができるはずです~



それでは有意義な時間の使い方ができるよう応援しています~v-22

No title

今から何かを始めても消化不良になるだろうとのことですが、プラチカよりも文系数学の核心(120題)と予備校の阪大数学のテキスト(30題)の復習に徹した方がよいですよね…?
どちらもまだ2周ほど回しただけで、完璧とは言えないレベルです。

「何故こうなるのか、どうしてここでこのやり方をするのか」を考えながら指針を吸収し、答案を再現する復習方法が効果的みたいですね。
確かにわかったつもりになっているだけで、いざ解き直すとできないということが多く、わかるとできるは違うんだなーとひしひしと痛感していたところです。
必死に復習したいと思います。

No title

再びコメントありがとうございます~

あー,なるほど。プラチカは既にある程度こなした問題集だったわけではなく
これから手を付けるべきかどうか悩んでた方の部類だったのですねー
既に2周しているテキストの内容をまず確実なものにするというのがまずは良いでしょうね。
1周目の時点で「完璧に解けたししばらく時間が経っても間違いなく解ける」問題,
「定期的に見直したい問題」,「間違えた・解けなかった問題」などに分類して印を付けて
おくとかができていれば,2周目以降はそれが頼りになるのでとても便利です~
既に2周こなしてるようなので,3周目はまだ吸収できていないポイントをターゲットにするのが良いでしょう~
なお,自分では「解けた」「分かった」と思っていたものが実は不完全だったり誤っていることが
数学では起きやすいです。自己完結型の学習になるとどうしても「まぁいっか」「きっとこれはこういうことなんだ」と言って流されてしまう現象が起きがちです~
予備校に通っているようですので,時々講師のセンセに添削してもらったり質問をしに行ったりなどするのが良いかと思います~

わかるとできるは違うんだなー ということですが,
「わかる」と「できる」は確かに違います~ この2つが違う原因については
習いたての内容に関して言えば,不慣れだからという部分が大きく関わってきますが,
現在の状況で言えば「わかったつもりになる」と「わかる」の間のギャップの影響が大きいと思います。
1つでも多くこのギャップを埋められるよう頑張ってください~
日頃から操作の必然性を考える学習法が身についていると,知らない問題に挑んだときでも
自分で条件式を立てていく際にとても思考が慎重になるので,条件の見落としも少なくなります~
非公開コメント

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