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2013年センター試験 追試 数学ⅡB 第3問

2014.01.07 02:43|大学入試問題
どもども。


今回は2013年のセンター試験追試の数学ⅡBの第3問をやります~


問題はこの辺などから~~ mini 32208B96-49CF-449F-8C14-BB85827B1189
http://www.dnc.ac.jp/modules/file/index.php?page=visit&cid=96&lid=1856



数列の問題です~~

数学的帰納法を出題してきた本試とは違って,
追試ではスタンダードな数列の問題を出してきましたね~

数列の問題なのに三角関数も絡んでくるため厄介,
n を 3 で割ったときの余りによって一般項の表示式が変わってくるので厄介,
うまく誘導に乗れないと和の計算が面倒になるので厄介,
ということでなかなか厄介な問題だと思います~ sangurasu02.gif

とりあえず序盤は手堅く正解しておきましょう~
最初の a_n の式を間違えるとその後が全滅してしまいます。
初項が 3, 公差が 2 の等差数列の一般項ですので 2n+1 ですね~


その後の 3^(a_n) の和を求める問題ですが,
これは等比数列の和になります。
a・r^(n-1) 型の形に直すことでどんな初項と公比の等比数列かを見極めて
和の公式に当てはめる
と良いのですが,
3^(2n+1) のように, n の係数が 1 以外であるとき,
それでいて更に指数の部分が定数項のある n の 1 次式だったりするとき,
a・r^(n-1) 型の形に直すことが苦手な人が結構多いようです。
指数法則についてしっかり理解しておきましょうね sakura.gif


n1_2014010616544118b.jpg



ここからが大変ですね。
数列 {b_n} の一般項は b_n=-2cos{(a_n/3)π}+2=-2cos({(2n+1)/3}π)+2 です。
cos の中身が (2/3)π (つまり 120° )を公差とする等差数列になっています。
これが意味するところは, n が 3 増えるごとに 2π だけ角度が大きくなるので
{cos{(a_n/3)π}} は周期 3 の周期数列になっているということです。
このとき数列 {b_n} もまた周期 3 の周期数列になっています ningyou.gif


n3_2014010616544248e.jpg


数列 {c_n} は, c_n=b_n+n によって定義されています。
まずは,数列 {b_n}, {c_n} のはじめの数項を挙げてもらって
どんなもんなのか雰囲気を掴んでくれ,というのが次の設問です~ nasu.gif


n2_201401061654412e1.jpg


確かに数列 {b_n} の方は 4,1,1 を繰り返す周期数列になってそうですね。
数列 {c_n} の方は周期数列にはなってなさそうです。
{c_n} について,この第6項までの羅列からは規則性のようなものはあまり読み取れないかもしれませんが
3~8 までの自然数が1回ずつ現れているということが実は後々大事になってきますよ~



さて,ここで m を正の 3 の倍数(つまり 3,6,9,12,……)とおきます。
このとき, b_(m-2), b_(m-1), b_(m) を求めるのが次の設問です~

数列 {b_n} は b_(n+3)=b_n より周期 3 の周期数列ですから
はじめの3項が分かれば残りの項も全て分かってしまいます。


n7_20140106165512cf1.jpg
n8_20140106165513e91.jpg


直接に周期性に触れなくても, m=3M とおいて, 
b_(m-2), b_(m-1), b_(m) を M の式で表してみようとする試みでもいけます~

cos(Nπ) は N が偶数のとき 1, 奇数のときは -1 であることに注意です。


n4_20140106165443861.jpg


n5_201401061654432d8.jpg


n6_20140106165444f5c.jpg






一方で, c_(m-2), c_(m-1), c_(m) についてはどようなことが言えるでしょうか。
実はこの3項については大小関係が確定してしまいます kinoko02(1).gif
それを答えるのが次の設問です。
さっき最初の6項まで求めているのでそれを参考にすることで,新たに何かを計算することなく
大小関係を答えてしまうというズル技で空欄を埋めてしまうことも出来ますが,
c_(m-2), c_(m-1), c_(m) を具体的に計算しておかないとこの先の問題で困るかもしれません。


n9_201401061655130c8.jpg




次は数列 {c_n} の初項から第 m 項までの和を求める問題です~
m は相変わらず正の 3 の倍数ですよ~

この和を求める過程は幾つかあると思うのですが,
設問上,答えを求める途中にも空欄があるため
問題文の誘導に沿った求め方をすることが推奨されます。
どんな方針で攻めて欲しいと出題者が望んでいるのか,読み取れますか?


上の設問で, c_(m-2)=m+2, c_(m-1)=m, c_(m)=m+1 
であることが分かりました。これらは順番こそバラバラですが
m, m+1, m+2 という連続3整数になっているのが分かりますね jitensya.gif

c_1+c_2+…+c_m という和を3項ずつの和に分けてみて
(c_1+c_2+c_3)+(c_4+c_5+c_6)+(c_7+c_8+c_9)+…+(c_(m-2)+c_(m-1)+c_m)
としてみると,それぞれの ( ) の中をちょいと順番を入れ替えて
(c_2+c_3+c_1)+(c_5+c_6+c_4)+(c_8+c_9+c_7)+…+(c_(m-1)+c_m+c_(m-1))
にしてみればこの和は
(3+4+5)+(6+7+8)+(9+10+11)+…+{m+(m+1)+(m+2)}
という, 3 から m+2 までの整数の和になっているんです~
そのことに気付いて欲しい!そのことを利用して和を求めて欲しい!
というのが誘導の流れです~ heart15.gif

ちゃんと問題文の中で
(c_2+c_3+c_1)+(c_5+c_6+c_4)+(c_8+c_9+c_7)+…+(c_(m-1)+c_m+c_(m-1))
の順番に入れ替えている記述がある
ので,読み飛ばさないでくださいね hanaji03.gif



n10_20140106165514e91.jpg




ここで誘導に乗れなかった場合の和の求め方をいくつか挙げてみます~


まずは c_(k-1)+c_k+c_(k-1)=9k+3 であることに着目し,
m=3M として, 9k+3 を k=1 から k=M まで足し合わせる作戦です。
この作戦で和を求めた人も結構いるのではないでしょうか。


n11_201401061655156da.jpg


続いては,数列 {c_n} の一般項の表示式が n を 3 で割ったときの余りごとに
異なるため, n を 3 で割ったときの余りが 0 の項たち, 1 の項たち, 2の項たちごとに
それぞれ和をとってしまう作戦です curry01.gif




n12_2014010616551690e.jpg



最後に, c_n=b_n+n だったことを利用して,
周期数列 {b_n} の和と 1 から m までの自然数の和に分ける作戦です~ c-04.gif



n14_2014010616553480f.jpg







では次の設問に進みましょう~

数列 {d_n} というものが出てきました。一般項が (b_n)/(nc_n) だそうです。
何だかややこしそうですが,そんな数列 {d_n} の初項から第 m 項までの和を求める問題です~

誘導によると,部分分数分解をしてみると上手いこといくようですね。
数列 {1/c_n} の和を計算しなければならないのですが,
1つ上の設問で正しく誘導のレールの上を進めた人は,この和が数列 {1/(n+2)} の和で
計算できることにすぐ気が付くチャンスが与えられているはずです
逆に上手く乗れなかった人は {1/c_n} の和の計算に手こずるかもしれません。

そこの関門さえ越えればあとは和の計算は項の相殺合戦です~
いまは m≧3 なので,相殺のされ方が変わってくる m=1,2 の場合の計算式を別個にして
書くような操作は要りません。


n13_20140106165534cf1.jpg



誘導に従わないで計算すると,例えば以下のような計算の仕方などがあります。
n を 3 で割った余りが同じ項たち同士を足してますが,なかなか面倒ですね been.gif



n15_20140106165535ba0.jpg







それでは今回はここまでにして
次回は大問4をやります~ Strawberry02.gif






    
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コメント

No title

とてもとてもわかりやすいです。
他の年度のセンター数学の解説も
よろしくお願いします。

No title

>れもんさん

コメントありがとうございます~v-354

そういえば今年分はまだ数2Bの方は取り上げてなかったですねー
古い年度までさかのぼって解説してく余裕が有るかどうかはわかりませんが
今年の2Bくらいはやれたらいいなーとは思います~

来年は新課程版センター試験の第1回ということで若干いつもと雰囲気が変わるはずなので
注意です~
非公開コメント

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