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2012年東北大入試(後期)理系数学第5問その5

2012.09.03 00:00|大学入試問題
どもども。


前回の続きをやっていきますよ~onegai03t.gif

問題はこちら~箱ドットおにおん2mini
m5

前々々々回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-12.html
前々々回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-13.html
前々回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-14.html
前回:http://mathnegi.blog.fc2.com/blog-entry-12.html

いよいよ最後の(4)でございます~~

sin(2π/7)+sin(4π/7)+sin(8π/7)の値を求める問題です~~
単問で出されると手強いですが,(3)までの流れをしっくり汲めば決して恐ろしい相手ではないですonpu02.gif

まずはそのような標準的な解法からやってみます~

nabe.gifA+B=-1,AB=2からA,Bを求める解法

(3)でA+B=-1,AB=2が求められました。
和と積の値が分かってるとき何がしたくなるか,それはズバリAとBの値を求めたくなるわけですよmikan01.gif
2次方程式の解と係数の関係から,A,Bは2次方程式t^2+t+2=0の解になっています。
つまり2次方程式を解くだけでAとBが求められてしまうんですね。

ところで,
A=α+α^2+α^4={cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(8π/7)}+i{sin(2π/7)+sin(4π/7)+sin(8π/7)}
であるので,Aの虚部が求める答えになるわけです~koinoburi08.gif

l1.jpg

2つ出てきたtの値。
果たしてどっちがAでどっちがBなんでしょう~
コレ,意外と迷いますよねkinoko05.gif

7kaku.jpg

そこでこの図の登場です~
まずα^2+α^4の部分に着目してみましょう

∠A_2OA_3=∠A_3OA_4=2π/7なので,α^2+α^4は半直線OA_3上にあることが分かります。
と,いうことは,α^2+α^4の虚部 sin(4π/7)+sin(8π/7) の値は正なんですね

それに sin(2π/7)(>0)を加えても当然正なので,α+α^2+α^4虚部は正の値になります。
これでどっちがAでどっちがBか分かりますね

l2.jpg

l3.jpg



nabe.gifAの実部と絶対値の値から虚部を求める解法

上で見たようにA=α+α^2+α^4の虚部が sin(2π/7)+sin(4π/7)+sin(8π/7) だったわけです。
(3)より, A+B=2×(Aの実部)=-1 なのでAの実部は-1/2です。
更に,AB=|A|^2=2より,Aの絶対値は√2です。
この2つが分かっていればAの虚部も分かってしまいますね~b_body_jump_20120809140052.gif

l4.jpg



nabe.gifA-Bを計算する解法
A-B=A-( ̄A)=2i×(Aの虚部) であることに着目します~

A+BとABの値が分かっているので(A-B)^2=(A+B)^2-4ABの値が計算できます。
そんなわけでA-Bの値が求められますね~

l13.jpg



nabe.gif三角関数の公式を駆使する解法

(3)と同様に和積とか倍角とかを駆使して解いてみます~
そんなわけで,sin(2π/7)が満たす関係式を求めてみるところから始めまっしゅッ
sinの2倍角公式はcosと違ってsinとcos両方が混じってくるのが厄介で,そのため(3)よりも面倒です。

l5.jpg

6次式の形で1つ関係式が得られましたね。
cosのときは3次式が得られたわけですが,実は上の式も因数分解が可能です。
しかしいきなりコレを因数分解するのは容易くありません。
なので,とりあえずこの6次式を利用して答えを求めてみようと思います~dog_angry.gif

ちなみに前回cosの関係式から得られた7次式とよく似てますね。


l6.jpg

l7.jpg



ここからはオマケです~dango.gif

w=x+6xy-8x^3y=√7/2より,先ほど使ったのとは別のxの関係式が得られます

l8.jpg

今度は5次式が得られました~
実はコレも因数分解可能です。 …そのままだと大変ですが。

これで6次式と5次式,2つの関係式が得られたわけですが
この2つの式を使ってxの満たす3次式を見つけてみたいと思います~eto_i.gif

前々回も少し述べたんですけど,互除法を使います~
さて,互除法は2つの多項式の最大共通因数を見つけるのに有効なんですが,
一体どういう仕組みなのでしょう


2つの多項式P_1(x)とP_2(x)があったとします。ここでP_1(x)の方が次数が上だとしますよ~
すると割り算ができまして,P_1(x)=P_2(x)Q_1(x)+R_1(x)
の形に書くことができます~
このときR_1(x)の次数はP_2(x)の次数よりも小さくなっています。

ここでP_1(x)とP_2(x)の共通の因数で一番大きいものをC(x)とおきます
(つまりP_1(x)=p_1(x)C(x),P_2(x)=p_2(x)C(x)とおくとp_1(x)とp_2(x)は共通因数を持たないということです~)

すると, P_1(x)=P_2(x)Q_1(x)+P_3(x) を,
P_1(x)-P_2(x)Q_1(x)=P_3(x)と変形すると
左辺は{p_1(x)-p_2(x)}C(x)に等しいのでC(x)を因数に持ちます
ということは右辺もC(x)を因数に持たないと辻褄が合わないにゃんneko06.gif

したがって,P_3(x)=p_3(x)C(x)の形に書けます。
そこで次は, P_2(x)=P_3(x)Q_2(x)+P_4(x) 
の形で表すと今度はP_4(x)がC(x)を因数に持ちます~

あとはこの操作を同じ要領でどんどん繰り返していきますkuma_fly.gif


さぁ,最終的にどうなるんでしょう~
P_4(x),P_5(x),P_7(x),…… どんどん次数が下がっていきます。
だからこの操作は有限回で終わるわけですが,
最終的にある番号nで P_n(x)=k・C(x) (k:定数)が成り立ち,
P_{n-1}(x)=P_n(x)Q_{n-1}(x)
と割り切れて余りが0になってしまうというわけなんですねrabi_love.gif


ではやってみましょう~
6次の式を5次の式で割りますよーs2_sum_sunflower.gif

l9.jpg

l10.jpg

4次の関係式が得られました~
次は5次の式を4次の式で割りますよーs2_sum_sunflower.gif

l11.jpg

かくて3次の関係式が得られました。
これでおしまいです~okojyo02.gif
4次の式をこの3次式で割ろうとすると,割り切れてしまって余りが出てきません

l12.jpg

こんな感じで因数分解が出来ます






         
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