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2013年センター試験 追試 数学ⅡB 第4問

2014.01.10 02:56|大学入試問題
どもども。


今回は2013年のセンター試験追試の数学ⅡBの第4問をやります~


問題はこの辺などから~~ 箱ドットおにおんmini
http://www.dnc.ac.jp/modules/file/index.php?page=visit&cid=96&lid=1856


ベクトルの問題です~~

本試の方では久しぶりの平面ベクトルの問題が出ていましたが
追試では空間ベクトルの問題が出ました~

辺の長さに定数 x を含んでいる四面体 OABC が与えられてます~
その体積が最大になるのは一体どんなときかを考察するというのがテーマになっていて,
あまり場面の転換とかはなく,底面積が一定なことに着目して高さが最大になるときを調べておしまい
という結構シンプルな構成になっています。
恐らく比較的取り組みやすい問題だったのではないかという印象です~ dog_love.gif

ただし,それはあくまで結論を得るまでの誘導がしっかりと与えられているから,と言えます。
もしこれが誘導のない2次試験の問題だったとしたら,もしかしたら意外と厄介かもしれません。
実は,解法の選択を誤ると恐ろしく計算が大変になる憂き目に遭うという怖さを持った問題なんです。

というわけで,いくつかの方法で x=9/2 のときに体積が最大になることを導いてみたいと思います。
とりあえずは与えられた誘導に沿って答えを求めていきましょう~ kudan.gif






四面体 OABC については辺 OA, OB の長さと,内積 (→a)・(→b), 
(→a)・(→c) および cos∠BOC の値が与えられています~


はじめの設問は, △OAB の面積を求めることが趣旨になっています。
内積 (→a)・(→b) の値から cos∠AOB を求めることが出来るので
そこから sin∠AOB を求め,面積公式から △OAB の面積を求めようという感じです~ ladybug.gif


o1_201401090116479a4.jpg


ベクトルの内積を用いた面積公式を使えば sin∠AOB を求めなくても面積は出せます。
とりあえず2通りの方法で面積を求めてみました~


o2_20140109011648c44.jpg



ここで, OC=2x とおくようですよ~
ただし, x の値の範囲は 1<x<8 に制限されています。
何なんだこの範囲は! と思うわけなんですが,色々計算してみると
この範囲でないと与えられた条件をすべて満たす四面体が成立しないようです。

さて,四面体 OABC の体積が最大になるのがどんなときか考えたいと思います~
上の設問の結果から, △OAB の面積は x の値によらず常に一定であることが分かりましたね。
△OAB を底面としてみれば,底面積が一定なので高さが最大になるときに
体積も最大
になります~ kaeru_yodare1.gif

そこで,頂点 C から平面 OABに下した垂線の長さを x の式で表して
その最大値を調べてみようと思います~

平面 OAB 上に点 D を取ってみると, (→OD) はこの平面上の1次独立な2つのべクトル
(→a), (→b) を使って (→OD)=s(→a)+t(→b) (s,t は実数)
の形に一意的に表されます
頂点 C から平面 OABに下した垂線の足がちょうど D になっていると仮定して
s,t の値を求めてみようという流れで誘導がされています。

まず,この後の計算で使う内積の値として (→b)・(→c) がまだ求められていないので
下準備として求めておきます。

o3_2014010901164802d.jpg

(→n)=(→CD) とおきます。 CD⊥平面 OAB が成り立つとすれば
(→n) は平面 OAB 上の任意のベクトルと直交するので (→a)・(→n)=(→b)・(→n)=0
が成り立たなければいけません ny_kadomatsu.gif
この条件式を活用するために (→a)・(→n) と (→b)・(→n) を求めておきます。
問題文ではなぜか親切にこの2つの値は与えておいてくれていますね。
|(→n)|^2 の値を計算する際に (→c)・(→n) の値も利用するので,
こちらも求めておきましょう~ 設問として問われているのはこの値ですね。

o4_20140109011649023.jpg


では, (→a)・(→n)=(→b)・(→n)=0 から s, t を求めましょう~


o5_20140109011650efd.jpg


これで (→n)=s(→a)+t(→b)-(→c) の表示式が得られたので,
|(→n)| が最大値になるのがどんなときか調べればよいわけですが
|(→n)|^2 の方を考察しても構わないし,こちらの方が考察しやすいと思います。

ここで, |(→n)|^2=(→n)・(→n) として計算するのですが,
(→n)・(→n) のうちの一方の (→n) だけ s(→a)+t(→b)-(→c) に置き換えるのがコツです panda_1.gif
(→a)・(→n)=(→b)・(→n)=0 の関係式を利用して計算を簡約できるからです~

o6_201401090116508f0.jpg

o7_20140109011725013.jpg


もしこの計算を |(→n)|^2={s(→a)+t(→b)-(→c)}・{s(→a)+t(→b)-(→c)}
と置き換えてしまうと,以下のように計算が面倒なことになってしまいます。
誘導がなければついついやってしまいそうなだけに怖いですね s2_sum_sandal.gif



o8_20140109011726a94.jpg



これでまぁ無事に x=9/2 のときに体積が最大になることが分かってめでたしめでたし
というわけですね。問題文中にあった 1<x<8 という条件がないと |(→n)| が正にならないんですね。



誘導に従って解けば大体いま説明したような流れになるんですが,
今度は誘導の流れにとらわれずに x=9/2 を求めていきたいと思います。
冒頭で,解法を誤ると計算が大変になると申しましたが,
まずは体力が残ってるうちにそのような大変な解法に1つチャレンジしてみます

空間ベクトルの基底として (→a), (→b), (→c) の3つを選んでいるので
△ABC を底面にして考えてみたくもなってしまうかもしれません。
△ABC の面積は x の値によって変化するので,頂点 O から平面 ABC に下した垂線 OH の
長さだけ考えるのではいけません。

というわけで △ABC の面積を求めてみます。

o9_20140109011727b5c.jpg
o10_201401090117278fb.jpg

7x+169 などというすごい因数が出てきてます。
なんだか先が思いやられます。

(→OH)=α(→a)+β(→b)+γ(→c) (α+β+γ=1) とおけるので
これと (→OH)・(→AB)=(→OH)・(→BC)=0 の関係式から
α, β, γ の値を求めることが出来ます。
(→OH) の表示式が分かったら |(→OH)| が計算できますね。

言葉で述べる分にはこのように簡単ですが,実際やってみると
あまりにもかったるい計算が待っています panda_2.gif
かったるいので計算過程は概ね省きましたが大体以下のような感じになりました。

o11_20140109011728efe.jpg
o12_2014010901172866c.jpg


o13_20140109011806982.jpg



底面を △OAB 以外にしてみるとしんどくなるんでしょうね~







というわけで次は誘導と同様に △OAB を底面にしてみます。
直角三角形 OCD, ACD, BCD などに三平方の定理を使うような発想で
CD の長さを求めてみたいと思います redleaves.gif


o17_201401090118099cc.jpg


(→OA)・(→AC)=0 であることが簡単に確かめられます。
このことより OA⊥AC であることが分かります。
△OAD は △OAC を平面 OAB へ正射影したものになっているので OA⊥AD も成り立ちます。

このとき, D の位置というのは, x の値次第で △OAB の内部にある場合もあるし
周上や外部にある場合もあるので注意が必要です s2_sum_sunflower.gif

ここでは ∠BAD が鋭角のとき, D と A が一致するとき, ∠BAD が鈍角のとき
の3つに分けて考えてみたいと思います。
実際に考察してみると ∠BAD が鋭角のときしか起きないことが後で分かります。

∠BAD が鋭角のときは更に D が △OAB の内部にある場合,周上にある場合,外部にある場合に
分けられるのですが,線分の長さを表すのに絶対値記号などを利用すれば
D の位置によらず同じ議論で通せるのでオススメです heart2_arrow.gif


o18_20140109011809722.jpg
o19_20140109012324671.jpg



o20_20140109012325321.jpg

 o21_20140109012325de6.jpg

o22_20140109012326a27.jpg


D が A と一致するときも上と同様の式で計算できますが
x=1 が出てきてしまうので不適です~
∠BAD が鈍角のときは負の p の値が出てきてしまいます。


o23_201401090123266ce.jpg




D の位置によって図や計算式に微妙な差異が生じてしまいましたが,
この面倒臭さは座標の導入によって取り除けます~

平面 z=0 上に △OAB が乗り, C の z 座標が正になるように座標を入れてみると
四面体 OABC の高さが C の z 座標で与えられますね w04.gif
計算量も意外と多くはなかったです。

o14_2014010901180740e.jpg

o15_20140109011808861.jpg


今の場合, C の z 座標をみるだけで体積最大の x の値を調べることが出来ましたが,
底面が xy 平面上に乗っかってない場合などは,3つのベクトル (→a), (→b), (→c)
の張る平行六面体の体積を外積と内積を使った式で表してその1/6倍を考える
というアイデアもあります。
ただし高校数学の範囲からは外れてしまいますが。
大学生や数検1級とか目指す人ならそういうやり方も心得ておくといいかもしれません。

o16_20140109011808abd.jpg








それでは今回はここまでにします~~~ white-ani01.gif








     
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