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2013年センター試験 追試 数学ⅡB 第5問

2014.01.11 02:32|大学入試問題
どもども。


今回は2013年のセンター試験追試の数学ⅡBの第5問をやります~


問題はこの辺などから~~ 算数mini
http://www.dnc.ac.jp/modules/file/index.php?page=visit&cid=96&lid=1856


統計の問題です~~

数列やベクトルが苦手な人はこちらにおいで~
な立ち位置の統計ですが最小二乗法がテーマになっている大問になってますよ~



問題を見てみましょーー

まずは本試と同様に,冒頭に変量の分布に関する表が載っていますねー
なんか項目が多くて「うわーーーナニコレーーめんどくさそーーー
という第一印象を持ちそうです。
そして,ゴミの焼却量だとか発電量とか,なんだか社会か理科の問題みたいな
単語が目に飛び込んできます。
実際に解き始める前から億劫になりそうです。


どうやら,ゴミを燃やして発電してるらしくて
1月から10月までのゴミ焼却量と発電量について表にまとめたよ~~
って話しらしいですね。

表に関してですが,たくさん数字が書いてありますが,本質的に重要なのは
横の項目としては発電量 y (十万kWh) の部分までで
それより右側の x^2, y^2, xy の欄は計算を楽にするための
ヒントとして載せてくれている数値なので,無いなら無いでも問題を解く上で困ることは無いものです。
もちろん,せっかく載せてくれているので大いに活用しますけどね kaerum mini




p12_20140111002526af5.jpg



表の中で,焼却量 x (千トン) の部分について,
合計 A, 平均値 B, 分散 C の箇所の数値を埋める必要があります。
それが最初の設問になっていますね。

合計については1月~10月の分の数値を全部足せばOK,
合計が分かれば平均値もすぐ出せますね。
分散については,定義式に当てはめてもいいですが,
E(x^2)-{E(x)}^2 の式の方に当てはめてしまったほうが楽チンです kinoko01(1).gif
さっそく表の x^2 の欄を活用します~

p3_20140111000325ccb.jpg

定義式に当てはめるとこんな感じです~
5の倍数を作りながら足していくと計算しやすいです。

p4_201401110003251d0.jpg



さて,次は x と y の関係を表した相関図を4つの中から選ばなければいけません。
図中の一番右側の点に着目してみましょう。 x=14 であるような点です。
このとき,その点の y 座標が 9 のものと 10 のものがあります。
x=14 となるのは3月のときで, y=10 であるはずなので
正解は0番か3番かのいずれかになりますね。

0番と3番は何が違うか。例えば0番には x=12 であるような点が無いですが
3番にはありますね。5月に x=12 になっているので,正解は3番です~ hiyoko03(1).gif


このとき, x と y の相関係数を求めるのが次の設問です~
基本的に相関係数の計算は面倒ですね~
まずは共分散 C(x,y) を求めます。
共分散というのは相関係数を求める式の分子にある E((x-E(x))(y-E(y))) のことです

そのまま (x-E(x))(y-E(y)) の平均を計算しても構いませんが
そこそこ面倒くさいです。


p13_20140111012223623.jpg


C(x,y)=E(xy)-E(x)E(y) として計算すると表中の値を利用できて
簡単に計算ができます~~~ neko02.gif
この式は E((x-E(x))(y-E(y)))=E(xy-xE(y)-yE(x)+E(x)E(y))
=E(xy)-E(x)E(y)-E(x)E(y)+E(x)E(y)=E(xy)-E(x)E(y)

として簡単に得られます。


p14_20140111012224549.jpg


あとは C(x,y) を x, y の標準偏差で割ってやればよいですね~ kinkan.gif
y の分散については表中に既に与えられていますねー


p15_20140111012225fdc.jpg



ここで, a を定数として,新たな変量 z=ax を導入します。
また, k 月における変量 x,y,z の値をそれぞれ x_k, y_k, z_k とします。
更に a の関数 f(a)=E((y-z)^2) を (y-z)^2 の平均で定義します。

(y_k-z_k)^2=(y_k-ax_k)^2 の値が小さければ小さいほど
y_k と z_k は近い数値になっています。 
(y-z)^2 の平均が小さいほど z と y の誤差は小さいと考えることができて
f(a) が最小になるような a の値のときの z=ax が
y を x の(定数項を持たない)1次式で近似したものとして,良い近似になっているとみなせます kujira.gif
これがいわゆる最小二乗法の発想です~

今の場合, f(a) が最小になるような a の値を計算するのには
表中の値を利用すると効率が良いです hiyoko(1).gif
むしろ使わなかったら計算はとても面倒なものになるかと思います。

p7_20140111000353c64.jpg


p8_2014011100035328d.jpg


a=4/5 のときが最小ということなので, x, y の分布は
直線 y=(4/5)x でそこそこ近似できているとみなせるわけです cookie.gif
まぁ,確かに似てるといえば似てる気もしますね~


p1_20140111000323eb6.jpg




x と y の間の関係が概ね y=(4/5)x という式で与えられているので
ゴミ焼却量 x の値が分かればそのときの発電量 y の値もある程度予測が出来るはずなので
変量 z=(4/5)x を予測発電量と呼ぶことについては抵抗はないかと思います

後半は予測発電量に関する設問が続きます~

まずは10月の予測発電量 z_10 を求める設問ですが,
これは単に (4/5)x_10 を計算するだけです~

p9_20140111000354484.jpg


実際の発電量 y と予測発電量 z の差を比べてみます~
この差が最大になっている月と最小になっている月を見付けてみましょう~

面倒ではありますが各月の y-z の値を列挙してみました。
統計の問題は,やることは決して難しくないのですが
地味に1つ1つの作業に時間がかかってしまいます pakukapa.gif


p10_20140111000355359.jpg


この結果から,差が最大なのは10月で,最小なのは5月であることが分かります。
最大なのが10月であることは問題文中であらかじめ書いてくれているので親切ですね。


p11_20140111000355819.jpg


最後は y-z のヒストグラムを4つの中から選ばなきゃいけません。
面倒ですねーー。

既に各月の y-z の値は求めてあるので,その結果と照らし合わせてみると
正解は2番であることが分かります~ ny_tako.gif

y と z の誤差が小さくなるように a を決めたので
試験の残り時間がなければ, y-z はなるべく0に近くなる傾向があるはずだという観点から
2番を選ぶというのも悪くはないと思います~ kaeru12.gif

また, x と y の相関図は上の方で(4択の選択肢の中に)与えられているので
その図の中に直線 y=(4/5)x-1 と  y=(4/5)x+1 を描き入れてみる手もあります zashiki.gif
y=(4/5)x-1 より下側にある点が y-z<-1 となる点で
y=(4/5)x+1 より上側にある点が y-z>1 となる点です。


p2_20140111000324bab.jpg



問題用紙にある図は結構小さいので,2直線を引いたときに上側か下側か微妙な点があれば
その箇所くらいは実際に y-z を計算するとして,残りの部分は必ずしも
すべての月について y-z を計算しなくても良いと思います。
y-z が最小になる月もかなり計算前から見当がつきそうです。












そんなわけで今回はこれにて終了です~ tanuki.gif






         
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