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2014年センター試験 数学ⅠA 第1問

2014.01.26 18:56|大学入試問題
どもども。


先日はセンター試験でしたね。
今年は数学ⅠAに関しては昨年よりも易化,ⅡBについては昨年とそれほど変わらず
という印象を持ちました~。
大きく話題になるほどのとても難しかった問題や,去年の帰納法のような大事件的な出題も特になく
穏やかな試験になったように思えます~

今回は,そんな今年のセンター試験の数学ⅠA第1問をやります~

……最近センター関連の記事ばっかの気がするなーー…



問題はこの辺などから~ わんちゃんmini
http://mainichi.jp/life/edu/center/etc/pdf/sugaku1a.pdf


第1問は2部構成になっています~
前半は無理数の計算問題,後半は集合に関する問題です~
珍しいことに,恒例の論理の問題がありません。
「必要条件であるが十分条件でない」みたいなやつね。
まぁマンネリ化を避けるためにもたまにはこーいうのも悪くはないでしょう。



それでは,まず前半です~
a と b はどちらも似た感じの無理数ですね。
こういう2数は足したり引いたり掛けたり割ったりすると
スッキリした値が出やすかったりしますね yotuba08.gif

ここでは和と積を計算する設問が出ています。
a と b はどちらも分母に無理数を含んでいるので,
何をするにもまずは真っ先に分母を有理化してしまおう
なんて考えてしまう人もいるかもしれませんが,
積 ab に関しては有理化せずに掛け算しちゃったほうが楽だと思います

さすがに和の方は分母が揃っていないと困るので,
有理化してから足す,かあるいは,分母を通分して足す
かどちらかをすれば良いと思います~(どちらの操作も同じような計算になるはず)






和 a+b と積 ab を計算させた理由は,
次の設問で a, b の対称式である a^2+b^2 の値を求めなければならないからです。
基本対称式である a+b と ab の値が分かっていれば,
様々な対称式の値を計算するときに利用することが出来た
のでした~ bakeneko_20120809140145.gif
 
a=√6+√2-√3-1, b=√6-√2+√3-1 なので,
素直にこの値を代入して a^2+b^2 を計算すると面倒くさい事になりそうですね。
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab と変形し,さっき求めた a+b と ab の値を代入すれば
だいぶ楽に計算できますよー





なお素直に代入した場合でも,乗法公式を上手く使えば
以下のようにある程度は楽に計算ができます~

a3_20140126012855d22.jpg


a+b と a^2+b^2 の値はどちらも√6を含んだものですが,
この2つの値を定数倍しながら足し引きすれば√6が消去出来て,
ab=2 以外の, a と b の間に成り立つ無理数を含まない関係式がもう1個得られます。
ちょうどそれが次の設問の a^2+b^2+4(a+b) です~

a4_20140126012855918.jpg


この式の b に, ab=2  から得られる b=2/a を代入して整理することによって,
a のみを含んだ有理数係数の関係式が得られます。これを計算するのが次の設問です~ bakezouri_20120809140203.gif
b=2/a を代入すればよいのだということに気付けたら簡単な問題ですが,
気付けなかったら,なぜ突然に4次式が出てくるのかが全然分からないかもしれません。

a5_2014012601285644f.jpg

a+b と ab の値が分かっているので,解と係数の関係を利用して
a, b を2解に持つような t の2次方程式を求めることが出来るのですが,
これを利用して答えを求めることも出来ますよ~
この方程式に解 t=a を代入すれば a^2+2a+2=2√6a が得られるので
その両辺を2乗して (a^2+2a+2)^2=24 を整理すれば終了です~


a6_2014012601285671c.jpg


なお,これは大学レベルの数学の言葉を使えば, a の有理数体上の最小多項式を求める設問に当たります。
誘導に従わずにやるとすれば, a=√6+√2-√3-1 という式を変形しながら無理数を無くしていく
ということなので,まずは (a-√6+1)^2=(√2-√3)^2 を変形して
a^2+2a+2=2√6a にします。あとは上の解法と同じで,両辺を2乗して
(a^2+2a+2)^2=24 を整理すれば終了です~





さて,後半の問題に進みましょう~~
論理の問題の代わりに今年は集合に関する問題が出題されました。
集合の表し方や集合論で使う数学記号などに慣れてないと,問題内容を読み取るだけでも
時間を取られてしまうかもしれないですね。

全体集合 U は 5<√n<6 を満たす自然数の集合で与えられています。
つまり, 25<n<36 を満たすことから, 26以上35以下の自然数全体です eto_uma.gif
要素の個数は10個ですね。


a7_20140126012925615.jpg


以下, U の部分集合として P, Q, R, S というものが出てきて
それらや,それらの補集合たちとの間の和集合や共通部分などを色々考えていく
という流れになっています。全体集合が10個しか要素がないということもあり
その都度,考察対象の集合の要素を全部書き出しながら設問に答えるということでも
良いのですが,地味に書き出しが面倒なものも出てきます。
出来ることなら,なるべく効率のよいやり方で処理したいものです~ insect_kuwa_m.gif

P は U の要素のうち,4の倍数であるものの集合なので, {28,32} です。
Q は U の要素のうち,5の倍数であるものの集合なので, {30,35} です。
R は U の要素のうち,6の倍数であるものの集合なので, {30} です。
S は U の要素のうち,7の倍数であるものの集合なので, {28,35} です。



最初の設問は5つの選択肢の中から空集合になるものを2個選ぶというものです~
5つとも2つの集合の共通部分で与えられているので,これなら要素書き出しで十分だと思います~


a8_201401260129265fa.jpg
a9_20140126012926f53.jpg



以下のように,それそれの集合が何の倍数の集合か考えてみるという発想でもいけますね m_0032.gif



a10_2014012601292797b.jpg



面倒くさいのは次の設問です。

今度は集合の包含関係に関する問題で,5つの選択肢の中から実際に成り立つものを2個選ぶものです。
まずは愚直にすべての要素を書き出して包含性を検証してみます~

a14 1


a15_20140126013009f83.jpg


というわけで2個目と5個目が正しい包含関係ですね。
地味に書き出す様子の数が多くてこのやり方だとちょっと時間がかかってしまいますね。

もうちょっとだけ効率よくしてみます~

ド・モルガンの法則を使うと少し楽になる,というところまでは思いつける人も多かったと思うのですが,
包含関係もひっくり返すというところまではなかなか思い及ばなかったかもしれません~ m_0140.gif

a11_20140126012928637.jpg

ド・モルガンみたいに定番の公式のような扱いはされていないので,
こんな関係式見たことないよー って人も多いかもですね。
たとえ知らなかったとしても,『こういう設問に遭遇して,
ド・モルガンに似たような包含関係の式があったら利用できそうだなーと思って
その場でこの関係式を発見する』ということができたら上出来です~m_0137.gif

これを使うと,最初の解法よりはスッキリと答えが得られます~

a12_201401260129293c4.jpg
a13_20140126013007e17.jpg
a14 2









どうせ必要条件とか十分条件が出るんだろーと思って集合の取り扱いの仕方を
疎かにしてると痛い目にあったかもしれませんねー

それでは次回は第2問です~ m_0243.gif





             
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