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2014年センター試験 数学ⅠA 第2問

2014.01.27 00:00|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター試験数学ⅠA第2問をやります~


問題はこの辺などから~ くりmini
http://mainichi.jp/life/edu/center/etc/pdf/sugaku1a.pdf

2次関数の問題です~
「最大・最小」「平行移動」「2次不等式」「解の配置」といった2次関数の単元の
定番トピックが集まってきた問題セットになっています。
センターの2次関数の問題ではよくある出題パターンかと思います~


与えられた2次関数を f(x) とおいておきます~
まずは y=f(x) のグラフ G の頂点の座標を求めておきましょう~ suika.gif

b1_20140126013009bb8.jpg

                 b2_20140126013010e90.jpg

G の y 切片を p とおいています。
つまり p=f(0) ですね~

p=-27 になるときの a が2つあるので,それを求めるのが次の設問です。

b3_20140126013010bf0.jpg
b4_2014012601304188a.jpg

a=3 のときのグラフを x 軸方向と y 軸方向にそれぞれどれくらい平行移動したら
a=-1 のときのグラフに一致しますか というのが次の設問です~

2つのグラフの頂点の座標を比べてどれくらい移動しているかを調べるのが早いと思います~ syumai.gif

もしくは x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ平行移動したら一致する,と仮定して
p と q に関する方程式を立てて解く
という手もあります。

とりあえず a=3, -1 のときの f(x) と頂点をそれぞれ求めてみましょう~

頂点の座標なら最初の設問で求めてあるのでそれに代入してもよいです。
なお, f(x)=(x+a)^2-a^2+p=(x+a)^2-a^2-27
であることから 頂点を(-a,-a^2-27) としてみると代入計算が早くなります



b5_20140126013041cfe.jpg


頂点の移動具合を調べてみましょうか~
下の図は明らかに横移動の矢印のほうが長いので,図としてはちょっといい加減ですねー


b6_20140126013042fe8.jpg


マーク型の試験なのでこれでよいですが,記述型の試験なら
本当に x 軸方向に 4, y 軸方向に 8 だけ平行移動したら2つのグラフは一致するのかを
検証する必要があると思います。
どちらの関数も x^2 の係数が1なので確かに重なります。
何かしら2つのグラフが一致することの根拠となる記述が欲しいところです。
頂点の移動具合だけ見て解答を終えられるためには,平行移動したら2つのグラフは重なるんですよー
という保証が必要です。


一方で, x 軸方向に p, y 軸方向に q だけ平行移動したら一致する,と仮定して
p と q に関する方程式を立てて解くという解法では次のようになります。
計算量はさっきのやり方よりは若干増えますねー s2_sum_hotaru.gif


b7_20140126013042f78.jpg




次は G が x 軸と共有点を持つような a の範囲を求める問題です。
グラフを使って考えるなら, y の最小値,すなわち頂点の y 座標が0以下であるという点に
着目して不等式を立てて解きますね risu.gif

b8_20140126013043e7a.jpg

2次方程式 f(x)=0 が実数解を持てば良いという点に着目するならば
この2次方程式の判別式 D について D≧0 という条件が成り立ちます~

b9_2014012601304300c.jpg





今得られた -3≦a≦6 という範囲において p の値の取り得る範囲を求めるのが次の設問です~

p は a の2次関数になっていますね。
限られた変域における最大・最小を考えなければいけないので,
グラフを描いて -3≦a≦6 の範囲の中で一番高いところと低いところの y の値を読んでやれば良いです~ rabi_smile.gif



b10_20140126013118489.jpg





もう最後の設問になりますね。
何だかあっという間です。

G が x 軸と共有点を持って,かつ,その共有点の x 座標が全て -1 より大きくなる
ための a の条件を求める設問です~
いわゆる解の配置問題というやつですね~

この類の問題を解き慣れている人なら,判別式と軸の位置と f(-1) の値
3つくらいに着目すればいーんでしょー みたいにすぐ対応できるかもしれないですが,
慣れるまではなかなか苦戦する人が多い問題です。

2次関数の問題は「方針で迷ったらグラフを使って考える」が基本なので
まずはそれでいってみましょ~~
G がどんな位置にあれば条件を満たすのでしょうか~

まず第一に x 軸と交わらなければいけないので 「最小値≦0」 か 「f(x)=0の判別式 D≧0 」
が必要です。これについては既に計算済みですね。

G が x 軸と相異なる2点で交わるとすれば,左側の交点が直線 x=-1 より
右側に来なければいけません。
軸は2つの交点を結ぶ線分の垂直二等分線なので,軸も直線 x=-1 より右側に
来なければいけませんね。
また, f(-1)≦0 が成り立ってしまえば,絶対に x≦-1 の範囲で G は
x 軸と共有点を持ってしまいます。左側の交点が x=-1 の右側に来るためには f(-1)>0 が必要です。  

逆に 「最小値<0」 「軸が x=-1 の右側」 「f(-1)>0」 が全て成り立てば必ず
G と x 軸の2つの交点は共に x=-1 の右側に来ますね。

G が x 軸に接する場合でもやはり軸は直線 x=-1 より右側で f(-1)>0 でなければいけません。
というわけで,接する場合も入れて
「最小値≦0」 「軸が x=-1 の右側」 「f(-1)>0」
の3条件で答えが出せます dog_shy.gif


b11_20140126013118db1.jpg
b12_20140126013119fa6.jpg



グラフを使って考えるのが苦手だ,という人は解と係数の関係を利用した解法なんかを
試してみてもいいかもしれないです

f(x)=0 の2解を α,β とおいてみます~
α=β のときが重解です。
まず第一に α,β は実数でなければいけません。
というわけで (判別式D)≧0 が必要になってきますね。

あとは 「α>-1 かつ β>-1」 になるようにすればよいわけです。 
「α+1>0 かつ β+1>0」 と変形してみましょう~

一般に,2つの実数 A と B に対して,
「A>0 かつ B>0 ⇔ A+B>0 かつ AB>0」

が成り立ちます。これを活用してみますねー

つまり, (α+1)+(β+1)>0 かつ (α+1)(β+1)>0
が成り立てばよいのです~ spaghetti.gif

(α+β)+2>0 かつ αβ+(α+β)+1>0 と変形してみると
α+β と αβ の姿が見えるので,ここに解と係数の関係から決まる値を代入して
a に関する不等式を立てます~


b13_201401260131196c6.jpg

b14_201401260131208bb.jpg




以上の2つがスタンダードな解法としてよく挙げられるものです~
しかし,こうした解法についてよく知らない人は,
ついつい次のような方針で解いてみようとしてしまいます。

「f(x)=0 の解は x=-a±√(-2a^2+6a+36) なので,
-a±√(-2a^2+6a+36)>-1 が成り立てば良い


もちろんこの方針でもちゃんと答えに辿り着けます~
ただし, a の無理式を含んだ不等式を解かなければならないため
慎重な操作が要求されます shm01.gif
不等式を解く際に,根号を無くすため2乗したりとかすることになりますが,
同値性を崩さないようにしてそれを行わなければいけないので注意が必要なのです。
このため,無理方程式や無理不等式にある程度慣れてる人じゃないとこの解法はオススメできません win_snowman.gif

さて, -a-√(-2a^2+6a+36)≦-a+√(-2a^2+6a+36)
が成り立つので, -a-√(-2a^2+6a+36)>-1 を解くだけで十分です。

まず根号の中が非負になることから -2a^2+6a+36≧0 でなければいけません。
これは 「最小値≦0」 や 「判別式 D≧0」 と同等の式ですね。
-a+1>√(-2a^2+6a+36) と変形して,これの両辺を2乗して
a の2次不等式に帰着させるわけなのですが,2乗する前の左辺が
正になるように -a+1>0 も条件式に加えておかなければいけません。

これが忘れやすい部分ですね~
なお, √(-2a^2+6a+36) よりも -a+1 の方が真に大きいので
-a+1>0 になってます。もし元の不等式が -a+1≧√(-2a^2+6a+36) だったなら
そのときは -a+1≧0 という条件式にならなければいけません。 

b15_20140126013121762.jpg
b16_201401260131376e9.jpg


b17_2014012601313701e.jpg









それでは第2問はここまでです~~
次回は第3問ですよ~~ sushi.gif





   
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