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2014年センター試験 数学ⅠA 第3問 その1

2014.01.30 23:10|大学入試問題
どもども。


今回は今年のセンター試験数学ⅠA第3問をやります~


問題はこの辺などから~ 箱ドットおにおん2mini
http://mainichi.jp/life/edu/center/etc/pdf/sugaku1a.pdf


平面図形の問題です~
昨年の問題と比べるとかなり解きやすいです~
昨年は2つ目の空欄でもう撃沈してしまった人が多かったですが
今回はそんな悲惨な事にはならなそうです

図形自体もそんなにごちゃごちゃしたものではなく
後からどんどん新たに円やら直線やら点やらがわらわらと増えていくような感じでは
ないので,頭がこんがらがるということもなさそうです~

さて,来年度の受験生は新課程に移行した最初の学年になるので
センター試験の出題パターンも少し様変わりすることが予想できます。
数学Aの「平面図形」が選択分野になったことにより
三角比関連の必答問題はこれまでのように思い切り平面図形の性質と絡めてくることが
無くなるように思えます。平面図形の問題は別個に選択問題として出てくるのかな?
そういうわけで,図形に限らずあれこれ変わってくるため過去問を解くだけでは
新センターには対応できない可能性があるので来年度の現役生は気をつけたいですね~




というわけで問題を解いていきます~~

序盤は △ABC に関する簡単な考察です~~
辺 CA の長さ, cos∠BAC, sin∠BAC の値, △ABC の外接円半径
をそれぞれ求めるものです~
三角比の相互関係,正弦定理,余弦定理あたりをちょいちょいと使うだけで
全部求められるので手堅く正解しておきましょうね~ senpuki04.gif


c1_201401302003081ee.jpg

この先の設問は次回に回します~
ここからは序盤部分の別解をいくつか挙げていきますよ~ k-up02.gif


外接円半径を求める公式としては正弦定理の他にも △ABC の面積を利用したものもありましたね~ wahakapa.gif


c6_20140130200311c9e.jpg



AB=AC=4 なので △ABC は二等辺三角形であるということには気付いておきたいですね  
こういうさりげないポイントに気付けるかどうかが図形問題を解く上でポイントになってきたりします~


△ABC が二等辺三角形であることを利用すれば
正弦定理や余弦定理に頼らなくても cos∠BAC, sin∠BAC, 外接円半径などを求めることができますよ~ rabi_happy.gif


まずは数学ⅡBの範囲にはなってしまいますが三角関数の二倍角の公式を利用してみます poloneck.gif

直線 AD は ∠BAC の二等分線なので BC との交点を H とすると
AH⊥BC, BH=CH になっていて二つの合同な直角三角形 ABH と ACH が現れます。
△ABH の三辺はすぐ求められるので, ∠BAH の正弦,余弦を求めて
それを使って cos∠BAC, sin∠BAC を求めてみましょう~ s1_spr_chulip.gif


c4_20140130200310b86.jpg



△ABC の面積公式を利用してみる作戦もあります~
AH⊥BC なので BC を底辺としてみれば簡単に △ABC の面積が計算できます。
あとは △ABC=(1/2)AB・AC・sin∠BAC から求めてもいいですし
以下のように AC を底辺とみて高さ BI を求めて直角三角形 ABI から求めてみても良いですね~ spaghetti.gif


c5_20140130200310840.jpg



外接円半径についても考えてみましょう~~

外接円の中心,つまり外心 O は弦 BC の垂直二等分線上にあるので
直線 AH と外接円の交点のうち A でない方を G とおくと,
線分 AG は外接円の直径になっています~

△ABH と △AGC に着目してみましょう~
∠BAH=∠GAC と ∠AHB=∠ACG=90° から △ABH∽△AGC であることが分かります。 
このとき,線分比の関係から直径 AG=2R を求めることが出来ます~ ipon.gif

この「1辺が直径と等しい直角三角形の相似関係から外接円半径を求める」というアプローチは
大学入試ではなく高校入試では常套手段になっています~
中学生はまだ正弦定理を知らないのでこうやって半径を求めるんですねーー car2_dump.gif



c7_20140130200359770.jpg
c8_201401302003114b0.jpg


なお直角三角形の相似関係を使っているので,線分比の計算部分は三角比の計算に置き換えることも出来ます~






今度は外心 O から辺 AB へ垂線 OJ を下してみます~
OJ は弦 AB を2等分するので AJ=BJ が成り立ちます。
このとき △AOJ∽△ABH が成り立つので線分比の関係から半径 AO=R を求めてみます~ pig01.gif




c9_20140130200357fce.jpg


こちらも直角三角形の相似関係を使っているので,線分比の計算部分は
三角比の計算に置き換えることも出来ますね~





とりあえず序盤部分に関してはもうこれくらいにして,
次回はこの先の設問に関して色々なやり方を試してみます~~ sreep_dog.gif






   
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